[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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204(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)08:33 ID:FrVQLg+h(1/10) AAS
>>203
メンターさん、どうも。スレ主です。
早速のコメントありがとう
同意です。
で、√2に限らず、任意の代数的無理数に成り立つ
aを代数的無理数として、a=g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n) という形に表せる
一方、aはあるQ係数代数方程式h(a)=0を満たす
省2
207(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)09:24 ID:FrVQLg+h(2/10) AAS
AA省
215(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)10:02 ID:FrVQLg+h(3/10) AAS
>>201関連
いま見返すと、渕野先生の下記「公理的集合論」P4より
"超限再帰法により定義すると，{rα : α < c} はR のQ 上のHamel 基底になる(演習)．
上のようにして構成したHamel 基底を用いることで，(Zorn の補題を用いて得られる) Hamel 基底
の存在の主張以上の興味深い事実が示せることを，次の節で見ることにする．ここでは， Hamel 基底
から，R のルベーグ非可測な部分集合が自然に定義できることを指摘しておくことにする．"
補題１の証明で
省7
218(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)10:21 ID:FrVQLg+h(4/10) AAS
>>211
TAさん、どうも。スレ主です。
提案だが、まず代数拡大がすっきりする複素数で考えたい
だから、Q~の定義は
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org (wikipedia)
(つまり Q~⊂C）
その上で、体の拡大 Q→Q~→C を考える
省6
221(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)10:33 ID:FrVQLg+h(5/10) AAS
>>215 補足
Hamel 基底が話題になっていて、使えるかもと見たんだが
Steinhaus の定理がわからんし、スルーしてました
いま見ると、多少意味が分かるね
Steinhaus の定理というのは、直感的理解としては、「ルベーグ可測集合Aで、もし微小な連続部分があれば、その微小な連続部分を使って、差を取ることで、ε開近傍を原点０の周りに取ることができる」みたいな
それをもっと精密にして、”もし微小な連続部分があれば”を仮定せずに、ルベーグ可測という性質だけから、”差を取ることで、ε開近傍を原点０の周りに取ることができる”を主張するのかな？
そういうことを考えつくというのは、天才ですね
省1
224(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)10:45 ID:FrVQLg+h(6/10) AAS
>>220
どうも。スレ主です。
TAさん、レスありがとう
>Q~(S)=Cとなるような集合Sを取ったとき、それが"超越基底"になるとは限らないんだが。
>超越基底の要件である代数的独立性が保証されない。
それを保証するのが選択公理でしょうね
１．Q~に一つ超越数s1∈T(>>207)を取る。そして、超越拡大体Q~（s1）を作る
省5
231(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)11:51 ID:FrVQLg+h(7/10) AAS
>>226
どうも。スレ主です。
>この例でs1=π,s2=eとする。
>このときs2∈T＼Q~(s1)だが集合{s1,s2}は代数的独立ではない。
正確には、代数的独立かどうかは分からないだね
>超越基底を構成するにはs2∈T＼(Q~(s1)の代数拡大体)なるs2を取らなければならない。
超越拡大Q~(s1)を構成したときに、s1と代数的従属な元は、全て大Q~(s1)に含まれる。定義からそうなる
省3
234(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)12:33 ID:FrVQLg+h(8/10) AAS
>>233
どうも。スレ主です。
TAさん、ありがとう
自動的には保証されないか・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の拡大
拡大 K/k が与えられたとき、K の元 α1, α2, ..., αn に対して、恒等的に 0 でない n 変数の多項式 F(X1, X2, ..., Xn) で
省9
237(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)12:53 ID:FrVQLg+h(9/10) AAS
AA省
239(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)13:18 ID:FrVQLg+h(10/10) AAS
>>235
どうも。スレ主です。
TAさん、ありがとう
>{s1,s2,s3・・・}の代数的独立性を確保しながらQ~(s1,s2,s3・・・)＝Cとできるとは限らないんだよ。
>Q~{s1,s2,s3・・・}の代数拡大体がCとなった時点で、もう代数的独立なC＼Q~{s1,s2,s3・・・}の元は取れない。
その取れない元をx∈Cとする
xは、有理数か、無理数。無理数の場合、代数的無理数か超越数か。
省7
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