[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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85(1): 2015/11/30(月)08:46 ID:EI/m42sT(1/8) AAS
>>84
>>82の主に前半(「ところが」までの部分)は、
>体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
>仮に或る開区間 I に対して、K∩I を完備とすると、体Kは通常の加減乗除について
>閉じているから、K∩I のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、
>或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な閉区間 [-ε,ε] を構成
>出来る。従って、加減乗除の操作を任意に可算無限回施すと、[-ε,ε] から
省12
87(2): 2015/11/30(月)14:20 ID:EI/m42sT(2/8) AAS
>>86
はじめに、後者の
＞> Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
だけから m(K)＝0 が従うことはない。これだけから m(K)＝0 が
従う論理を認めると、K＝R のときも同様な議論が成り立ち、反例が出る。
上の後者についての「＞」以降の行と前者の
＞> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
省7
89: 2015/11/30(月)14:32 ID:EI/m42sT(3/8) AAS
>>86
>>87の下から3行目の訂正：
「右半開区間の和の下限」→「右半開区間の長さの和の下限」
90(2): 2015/11/30(月)14:44 ID:EI/m42sT(4/8) AAS
>>88
距離空間としてのKを被覆する右半開区間の長さの和を、選択公理により
直線R上で小さい方(-∞の方)から大きい方(+∞の方)へと非可算個取って、
その非可算個の長さの和を足し合わせた総和だと思ってもらえればいい。
これから、可算個の長さの下限が0になることは直ちに従う。
91: 2015/11/30(月)14:51 ID:EI/m42sT(5/8) AAS
>>88
>>90の訂正：
「足し合わせた総和だと…」→「足し合わせた総和の下限だと…」
93(1): 2015/11/30(月)15:00 ID:EI/m42sT(6/8) AAS
>>92
あ〜、無理数全体の反例があったか。
>なんの理由があって可算個を抜き出すんだよ。
外測度の定義の式の「∞」は濃度でいうと「ℵ_0」にあたり、
総和は可算無限和だと解釈していたが、違うのか？
94: 2015/11/30(月)15:20 ID:EI/m42sT(7/8) AAS
>>92
ちょっと待った。
>無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
確かにそうではあるが、無理数全体は順序体ではないから、
無理数全体は、反例にならないのではないか？
96: 2015/11/30(月)15:57 ID:EI/m42sT(8/8) AAS
>>95
外測度の定義式の「∞」は、濃度でいうと連続体濃度cにあたるのか。
じゃあ、無理数全体は、論理の反例になっているのか。
何か、「Σ_{i＝1,…,∞}」という定義式の表記法が引っ掛かるな。
基本的な無限和の「Σ_{i＝1,…,∞}」と、表記上は余り変わりがない。
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