[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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50(1): 2015/11/29(日)00:06 ID:2P6DAj1m(1/13) AAS
>>49
wikiのゼロ集合の定義を改めて読んでみたところ、>>47-48の発言に自信が持てなくなってきた。
それはさておき、示すのは任意の超越基底がゼロ集合であることだ。
開区間Iε内で構成される超越基底のみを対象にしたのでは証明にはならない。
(事実、ゼロ集合の超越基底が存在することを示すのは簡単だ。)
スレ主の書き込みを読むと、この辺りをうまく記述する方法があるようだ。
スレ主の解答を楽しみにしています。
51(1): 2015/11/29(日)00:25 ID:2P6DAj1m(2/13) AAS
スレ主、いまさらだがゼロ集合の確認をさせてくれ。
下はwikiの測度論から引っ張ってきたものだ。
>可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合という。
これに異論はないと思うが、我々の命題では上の測度はルベーグ測度のこととしたい。
おっちゃんとオレはそう認識していた。スレ主も同意してくれるだろうか。
すでに過去に確認されていたことなら申し訳ない。
59(2): 2015/11/29(日)09:54 ID:2P6DAj1m(3/13) AAS
>>56
>５）compact：？ ３）に同じ
スレ主、超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
60(3): 2015/11/29(日)09:59 ID:2P6DAj1m(4/13) AAS
>>59
ああ"?"は分からんという意味か。
>>57
>３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
>４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
>５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する
ここの論理は良く分からんです。
省2
61: 2015/11/29(日)10:01 ID:2P6DAj1m(5/13) AAS
>>60
誤:"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
真:"U(ε)のε＜ m/2 と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
m(_ _)m
62(1): 2015/11/29(日)10:10 ID:2P6DAj1m(6/13) AAS
>>60
>"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
>なぜmが1つの値にとどまっているのか。
言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、
その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、
ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。
スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、
省1
73(1): 2015/11/29(日)15:17 ID:2P6DAj1m(7/13) AAS
>>66
>任意の超越基底は開区間Iε内の集合としてよい、というのはOK。
このコメントは迂闊でした。取り消させてください。
74(1): 2015/11/29(日)15:28 ID:2P6DAj1m(8/13) AAS
>>67
>有界であることは使っていいと思う。
これも取り消す。
やはり非可算な任意の超越基底というのは得体がしれない。
安易に有界だの完備だのと決め付けると間違いを犯す。
しかし、まずは区間I(ε)に含まれる有界な超越基底に議論を絞ろうと
いうのであれば、それはかまわない。
75(1): 2015/11/29(日)15:32 ID:2P6DAj1m(9/13) AAS
>>68
>やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
おれは数学系ではないよ。
知識がなく分からないことだらけだ。
このスレを利用して勉強させてもらっている。
78(4): 2015/11/29(日)16:06 ID:2P6DAj1m(10/13) AAS
>>76
代数拡大体と超越基底の関係はしっかり理解いただきたい。
そのためにはいくらでもつき合わせてもらうよ。
なぜかというと『超越基底ならばゼロ集合』に対する俺のアプローチと密接に関わっているからだ。
しっかり理解していないと俺の証明について議論ができないということになる。
>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
ここが間違っている。
省15
79(1): 2015/11/29(日)16:09 ID:2P6DAj1m(11/13) AAS
(>>78の続き）
> ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間を基底の線形結合で表現するために取られる。
> もし、そのベクトル空間の要素で、基底の線形結合で表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことだろ？
これはベクトル空間のとき、基底の線形結合を考えるのはそのとおり。
Q上のベクトル空間でRを張る基底Sを取り、それをQ(S)で書くことにすれば、Q(S)=Rだ。
しかし今話題にしているのはベクトル空間ではない。
線形結合ではなく代数拡大体を考えなければならない。
省5
80: 2015/11/29(日)16:23 ID:2P6DAj1m(12/13) AAS
> ３．「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」か・・。無限大の処理か・・？。そうすると、いままでの筋が成り立たないね。ところで、出典があるなら示してください
>>77で余計な文「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」を書いたためにスレ主を混乱させてしまった。
これは単純に、ε>0を仮定してもこの事実と矛盾しないことを言いたかっただけ。
ε>0がいけないのではなく、圧縮で測度不変という仮定がいけない可能性があることを伝えたかっただけ。
無限大をどうこうとは考えていなかった。
任意の区間に超越基底が存在することはスレ主もよく分かっていたんじゃなかったっけ？
任意の開区間をIとするとIの元と有理数の積で任意のRの元が表せる。
省2
81(2): 2015/11/29(日)16:27 ID:2P6DAj1m(13/13) AAS
>>77
>２．「超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか」は、>>64の２〜３だな
すまんが>>64の２〜３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
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