[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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1(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/10/11(日)20:22 ID:RDXEzJ3O(1/6) AAS
旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
2chｽﾚ:math
省25
603(1): 2015/11/25(水)14:51 ID:WuoQ5wU/(15/22) AAS
>>600
あ、カントール集合の場合が、背理法を使わなくても同様な論法が
成り立って同じ矛盾が得られて、例外があることになるのか。
604: 2015/11/25(水)14:57 ID:WuoQ5wU/(16/22) AAS
>>602
>>493のような論法を認めたら、カントール集合が存在しない
ことになって矛盾が生じるのか。
605(1): 2015/11/25(水)14:58 ID:DdIKV3mC(11/12) AAS
>>603
そのとおり。>>494で言わんとしていたことは、まさにそういうこと。
スレ主ですら理解していたこと。
で、背理法を使ってないのに なぜ矛盾が出たのかというと、
「>>600の論法はどこかが間違っているから」
ということ。結局、>>493はどこかが間違ってるということ。
そして、今日の>>579-584も全然ダメ。
606(1): 2015/11/25(水)15:07 ID:WuoQ5wU/(17/22) AAS
>>605
だけど、高校でこんなことまでしてたか？
スレ主が分かっているということは、高校でしていることなのか？
607(1): 2015/11/25(水)15:20 ID:DdIKV3mC(12/12) AAS
>>606
そんなことだから「意味」の概念が欠落していると言っているのだ。
だから数学やめろと言っているのだ。
いつどこで何を勉強したかは関係が無い。
論理に対する正しい理解が備わっていれば、自然と身についているはずのシロモノ。
現にスレ主も理解している。スレ主もまた、
「カントール集合のときヤバイんじゃね？」
省6
608: 2015/11/25(水)15:29 ID:WuoQ5wU/(18/22) AAS
>>607
数学するときは、数学的対象を意識しつつ論理を組立てましょうか。
フーン。論理的真偽の方を優先にしてたからな〜。
609: 2015/11/25(水)15:55 ID:WuoQ5wU/(19/22) AAS
>>580の第２段の
>閉区間[a,b]の濃度はcだから、H(ε)の濃度は、card(H(ε))＝c。
も間違ってますな。H(ε)⊂[a,b] だからといって、card(H(ε))＝c はいえませんな。
>>583の第６段の
>閉区間 [a,b] の濃度はcだから、card(S(ε))＝c。
も間違ってますな。S(ε)⊂[a,b] だからといって、card(S(ε))＝c はいえませんな。
だけど、card(S(ε))＝card(H(ε))＝c は、本当は示すまでもないことなんだよな。
610: 2015/11/25(水)16:06 ID:WuoQ5wU/(20/22) AAS
まさか、>>584の
>以下、実数直線R上、有理数は稠密だから、ハメル基底とRのQ上の超越基底について、
>ε＞0を任意に取ったとき、超越基底がS(ε)に等しくなり、ハメル基底がH(ε)に
>等しくなると仮定しても一般性は失わない。
って、こういう仮定は出来ないのか？ 問題は特に生じないと思うんだけど。
はじめから、ハメル基底と超越基底は固定しなきゃダメなのか？
611(5): 2015/11/25(水)17:17 ID:WuoQ5wU/(21/22) AAS
>>556
まあ、ついでに訂正版。
任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
省14
612: 2015/11/25(水)17:29 ID:WuoQ5wU/(22/22) AAS
>>556
何かよく分からんが、>>611の続きを書こうとしたら
NGワード規制にかかって、これ以上は出来ない。まあ、今日は寝る。
今度出来るのは土日あたりかな。
613(5): 2015/11/26(木)04:24 ID:G4eIi6xW(1/18) AAS
>>556
意外な方法があったんだな。多分超越基底Sとかハメル基底だけじゃダメだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底S、ハメル基底Hをそれぞれ適当に1つ取り、S⊂H としても一般性は失わない。
ここに、定義から、包含関係は、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
[第１段](Q∪H≠Φ はRの真部分集合)：0とは異なる有理数a、無理数 b∈H を任意に取る。
すると、或る、体Q上の、線型空間Rの線型部分空間 V＝{ra+sb∈R|r,s∈Q} が存在して、
{a,b} はVの基底である。そして、a、bは体Q上一次独立である。aとは異なるような、
省10
614(3): 2015/11/26(木)04:25 ID:G4eIi6xW(2/18) AAS
>>556
(>>613の続き)
[第３段](Q∪Hは完全集合)：x∈Q∪H とする。r＞0 とする。すると、有理数の稠密性から、
開区間 (x,x+r) に属する有理数sが存在する。開区間 (x,x+r) に属する有理数sについて、
(x,x+r)⊂(x-r,x+r) から、s∈(x-r,x+r)。また、x＜s から s≠x であり、s∈Q∪H だから、
s∈Q∪H−{x}。従って、s∈(Q∪H−{x})∩(x-r,x+r) から、(Q∪H−{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。
r＞0 は任意でよいから、xは Q∪H の集積点である。x∈Q∪H は任意でよいから、Q∪H の
省9
615(2): 2015/11/26(木)05:08 ID:G4eIi6xW(3/18) AAS
>>556
>>613の第１段の
>従って、定義から、b-c∈H なることはあり得ない。
の部分の「定義から、」は「b∈H から、」に訂正。
あと、>>614の第４段の
>任意の点 x∈Q∪H に対し、xは Q∪H の触点 かつ {x}は Q∪H の閉包である。
の部分は
省2
616(2): 2015/11/26(木)11:32 ID:G4eIi6xW(4/18) AAS
>>556
>>613の
>実数体Rの有理数体Q上の超越基底S、ハメル基底Hをそれぞれ適当に1つ取り、S⊂H としても一般性は失わない。
>ここに、定義から、包含関係は、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
の部分は
>定義から、ハメル基底Hに対して、或る、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが
>存在して、S⊂H であり、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
省6
617(1): 2015/11/26(木)12:03 ID:UZFNWaYI(1/8) AAS
>>613-616
訂正しても肝心なところが全部デタラメ。間違いだらけ。問題外。
どこが間違いなのかは自分で探せ。
618: 2015/11/26(木)12:59 ID:G4eIi6xW(5/18) AAS
>>556
さっきメシ食いながら気付いたが、昨日のメンターの教訓によると、>>613-616の論法は間違いだ。
多分、ハメル基底H⊃Sを持ち出してはいけない。というか、私もすぐにはハメル基底
への一般化が出来ない。Hは連続体濃度cを持つ集合で、>>613-616の論法を認めたら、
同じ論法がHを閉区間[0,1]とかに置き換えても成り立って、第４段で崩れるようになっている。
完備な順序体は実数体Rに限ることを用いないとダメだ。そうすれば、問題はない。
>>613-616を訂正して書く。少しお待ちを。
619(2): 2015/11/26(木)14:12 ID:G4eIi6xW(6/18) AAS
>>556
Sを実数体Rの有理数体Q上の超越基底とする。ここに、定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第１段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、
Q(S)上代数的なRの点が存在する。従って、或る、Q(S)上代数的なRの点aが存在して、
aはQ(S)には属さないRの点である。従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第２段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、
card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。また、card(S)＝card(R)＝c。従って、
省9
620(1): 2015/11/26(木)14:14 ID:G4eIi6xW(7/18) AAS
>>556
(>>619の続き)
[第４段](S、Q(S) は零集合)：ε＞0 を任意に取る。すると、完全集合 Q(S) は稠密集合である。
任意の点 x∈Q(S) に対し、距離空間R上で、xはQ(S)の触点 かつ {x}はQ(S)の閉包 である。
超越基底S、体Q(S) の包含関係は、S⊂Q(S)。従って、Sの外測度を m(S)、Q(S)の外測度を m(Q(S))
とすれば、ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が存在して、m(S)≦m(Q(S))≦a(ε)。
ε＞0 は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、m(S)＝m(Q(S))＝0。従って、
省3
621(1): 2015/11/26(木)14:29 ID:UZFNWaYI(2/8) AAS
>>619-620
デタラメ。間違いだらけ。問題外。
どこが間違いなのかは自分で探すこと。
いつものごとく些細な修正を開始するのかもしれんが、
そういう問題ではなく、全くダメ。
622: 2015/11/26(木)14:33 ID:G4eIi6xW(8/18) AAS
>>621
そもそも、方針が根本的に間違っている訳か。
623: 2015/11/26(木)14:55 ID:G4eIi6xW(9/18) AAS
>>556
>>562が
>そもそもスレ主は証明できるのか？
>おれは不勉強だからこの問題へのアプローチは1通りしか知らない。
という通り、この問題、ハメル基底やQ(S)でSを被覆する方法が無効となると、
私には方針が思い浮かばんわ。何かの知識が必要なんだろ？ はじめに、
スレ主が証明してくれ。知識がなくこれに取り組んでも無意味だ。
省1
624(2): 2015/11/26(木)15:10 ID:UZFNWaYI(3/8) AAS
だめだこりゃ。
ヒントがあってもなくても同じこと。知識がどうこうの前に、
そもそも誤答おじさんは既存の知識すら正しく使えていないから。
以下に誤答おじさんの間違いを記す。
1つ目の間違い。
Qは完全集合(特に閉集合)：背理法を使わず直接的に証明する。
x∈Q とする。r＞0 とする。任意の完備な順序体はRに同型
省19
625(1): 2015/11/26(木)15:14 ID:UZFNWaYI(4/8) AAS
3つ目の間違い。
まず、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合(analytic set)にならないことが知られている。
ここで、完全集合は閉集合であり、閉集合はボレル可測集合であり、ボレル可測集合は解析集合である。
よって、ハメル基底や超越基底が「完全集合」だと証明されている誤答おじさんの証明は自動的に間違いとなる。
常識的に考えても、選択公理が絡んでる集合なのにそう安々と位相的に良い性質を持った集合になるわけが無い。
626: 2015/11/26(木)15:18 ID:ZfVs61Ox(1) AAS
おっさんは寝てろよ
永遠に起きて来なくても良いよw
627(1): 2015/11/26(木)15:22 ID:G4eIi6xW(10/18) AAS
>>624
おなじみの有理数の稠密性が使えなかったのか。
測度以前に、基本的なことなんだけど。あと、m(R)＞0 か。
628(1): 2015/11/26(木)15:28 ID:G4eIi6xW(11/18) AAS
>>625
>まず、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合(analytic set)にならないことが知られている。
これは知らなかったわ。
629(1): 2015/11/26(木)15:31 ID:UZFNWaYI(5/8) AAS
上記のように、誤答おじさんの間違いは極めて質が悪く、
(1) なにかしらの集合が「完全集合」であることの証明手法がまず間違っている。
(2) なにかしらの集合が「ゼロ集合」であることの証明手法がこれまた間違っている。
(3) 選択公理が絡んでいるハメル基底・超越基底に「良い位相的性質」を期待する安易な方針が既に間違っている。
という、間違いのオンパレード。何一つとして「一人前に」証明できてない。
特に、(2)の間違え方がデタラメすぎて情けない。測度のことを何一つとして理解してない。
>>628
省4
630(2): 2015/11/26(木)15:35 ID:1b5OOJ9J(1) AAS
>m(R)>0 か。
当たり前だろ！
>特に、QはRの閉集合である。
？？？？？？？
無理数に収束する有理数列が有るのにQがRの閉集合なわけないだろ！
631(1): 2015/11/26(木)15:43 ID:G4eIi6xW(12/18) AAS
>>630
＞>特に、QはRの閉集合である。
＞？？？？？？？
＞無理数に収束する有理数列が有るのにQがRの閉集合なわけないだろ！
多分私宛てに書いたんだろうけど、これはどこに書いた？
632: 2015/11/26(木)15:47 ID:G4eIi6xW(13/18) AAS
>>630
あ、>>624で指摘されたように、意識しなかったって意味で
私がその間違いを>>627に書いたようにどこかに書いたって意味で書いたのね。
633: 2015/11/26(木)15:49 ID:6QY6fKYt(1) AAS
誤答の爺さんは先ず高校数学レベルをクリアしないとな。
ガロア理論、位相？
そんなもん語る状態に無いでしょ爺さん。
634(3): 2015/11/26(木)15:53 ID:G4eIi6xW(14/18) AAS
>>629
コンパクトなハメル基底や超越基底の存在性は>>611で証明したろ。
635(1): 2015/11/26(木)16:02 ID:UZFNWaYI(6/8) AAS
>>634
いい加減にしろクソ野郎。
Rのコンパクト集合は閉集合である。閉集合はボレル可測集合である。ボレル可測集合は解析集合である。
しかし、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合にならない。
よって、コンパクトなハメル基底や超越基底は存在しない。
もし存在性が証明できているならば、その証明は自動的に間違い。
そもそも、>>611には「コンパクト」なんて一言も書いてない。
省3
636(1): 2015/11/26(木)16:12 ID:G4eIi6xW(15/18) AAS
>>635
別に。ハイネ・ボレルの定理があるからそれはない。直観的にコンパクトだと思っただけ。
>S⊂Q(S)。従って、Sの外測度を m(S)、Q(S)の外測度を m(Q(S)) とすれば、
>ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が存在して、m(S)≦m(Q(S))≦a(ε)。
のようなおなじみの論法が通用しないのね。まあ、「ワロタ」とか、「クソ野郎」と幾度も書く
あたりから見ると、感情的というか性格が何か悪いですな。メンターは多分崩れでしょう。
ここまで性格が悪いと、大学とかではやっていけないでしょう。
省1
637(1): 2015/11/26(木)16:23 ID:5XCdJCIr(1) AAS
馬鹿なのに上から目線。
余りにも阿呆で傲慢なので、
メンター、メンターと持ち上げていた人からも見放された誤答おじさん。
638(2): 2015/11/26(木)16:28 ID:UZFNWaYI(7/8) AAS
>>636
＞直観的にコンパクトだと思っただけ。
意味不明。単にそのように思っただけなのであれば、
「>>611で証明した」と断定することはありえない。
コンパクトであることを証明した気になっていたけど、
実は間違っていることを俺に指摘されてバツが悪くなったから、
「コンパクトだと思っただけだ」と後から言い直したのだろう。
省15
639(1): 2015/11/26(木)16:36 ID:G4eIi6xW(16/18) AAS
>>637
むしろ、メンターみたいなタイプには見放された方がいい。
あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。メンターは解析専攻でしょう。
メンターっぽい人が以前、調和解析の話をしているのを見たことがある。
調和解析に妙に詳しいと思ったことはある。
640(1): 2015/11/26(木)16:42 ID:G4eIi6xW(17/18) AAS
>>638
>コンパクトであることを証明した気になっていたけど、
>実は間違っていることを俺に指摘されてバツが悪くなったから、
>「コンパクトだと思っただけだ」と後から言い直したのだろう。
まあ、大筋その通りだ。認めよう。
641(1): 2015/11/26(木)16:50 ID:hPBeqGK1(1) AAS
>>640
嘘つきに数学は無理よ。
自分に対しても嘘を平気で吐くから、
誤りをを認めることが出来ない。
「証明」を手放すことが出来ない誤答おじさん。
嘘で固めて「証明」を証明と言い張る。
642(1): 2015/11/26(木)17:03 ID:G4eIi6xW(18/18) AAS
>>638
>>641
なら、>>634では
>任意のε＞0に対して、開区間(-ε,ε)に含まれる
>ハメル基底が存在することを>>611で示した
と書いていれば、満足？
文が長くなって書くのが面倒臭くなるんだけど。
643: 2015/11/26(木)17:16 ID:UZFNWaYI(8/8) AAS
>>639
＞むしろ、メンターみたいなタイプには見放された方がいい。
＞あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。メンターは解析専攻でしょう。
お前の証明が正しければ誰からのツッコミも来ないという根本的な解決策からは目を背けて
くだらない特定ゴッコに精を出しているあたりが、いかにも「ダメな人」の典型例である。
>>642
その場合、レスの内容は正しくなるが、俺の
省7
644: 2015/11/26(木)18:16 ID:g/rZdFgl(1) AAS
長期に渡ってタダで個人授業を受けておきながらこの言い草はない。
> あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。
645: 2015/11/26(木)22:19 ID:yy5u8zGz(1/4) AAS
>>540
改良版の命題は正しいが、証明が無いので不正解。
【準備】
あるε>0に対し、a∈X のε近傍を U(a,ε) と書く。U(a,ε):={x∈X||a-x|<ε} である。
f:A⊂X→Y が a∈A で連続である ⇔ ∀ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、f(U(a,δ)∩A)⊂U(f(a),ε) とする。
【命題】
距離空間 (X,dX) の開集合 A⊂X から (Y,dY) への写像 f:A→Y が連続であるための必要十分条件は、
省16
646(1): 2015/11/26(木)22:19 ID:yy5u8zGz(2/4) AAS
>>540
A が X の開集合でない場合の命題を提示する。
【命題】
距離空間 (X,dX) の部分集合 A⊂X から (Y,dY) への写像 f:A→Y が連続であるための必要十分条件は、
Y の任意の開集合 U に対して、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V が成立つことである。
【証明】
A が X の開集合であるなら、前命題より V=f^(-1)(U) とすればよいから、A は X の開集合でないとする。
省17
647: 2015/11/26(木)22:31 ID:yy5u8zGz(3/4) AAS
>>646
うう訂正。。。
＞a∈A かつ a∈f'^(-1)(A) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
a∈A かつ a∈f'^(-1)(U) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
648: 2015/11/26(木)23:23 ID:PAIa9uKh(1) AAS
それ定義レベルの命題や
一撃で分からなアカン
距離空間の場合を確かめるのは悪くないが、
本来一般の位相空間の場合でやるべき演習
649: 2015/11/26(木)23:30 ID:yy5u8zGz(4/4) AAS
いや、距離空間の流れができちゃってたから
そこは俺に言われても困る
650(4): 2015/11/27(金)16:04 ID:qRNBmtTR(1/5) AAS
>>556
[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
から、RのQ上一次独立な部分集合 {√2} に対し、或る a∈Q が存在して、{a√2}∈L となる
から、L≠Φ。Lは集合の包含関係⊂について、半順序集合である。Aを添数集合とする。
省12
651(1): 2015/11/27(金)16:06 ID:qRNBmtTR(2/5) AAS
>>556
(>>650の続き)
[第２段](上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sの存在性)：定義から、任意のε＞0に対して、
開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底に含まれる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底S(ε)は
存在し、上下に有界である。従って、上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sは存在する。
ここに、Sを上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底と仮定しても一般性は失わない。
定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
省14
652(1): 2015/11/27(金)16:10 ID:qRNBmtTR(3/5) AAS
>>556
(>>651の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S) だから、
a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、m_i に対して何れも或る、
m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点
{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) となる。
Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
省11
653(1): 2015/11/27(金)16:12 ID:qRNBmtTR(4/5) AAS
>>556
(>>652の続き)
[第６段](Q(S)は零集合)：Q(S) の外測度を m(Q(S)) とする。m(Q(S))＞0 とする。定義から、実数体Rは
体 Q(S) の代数拡大体である。体 Q(S) 上超越的なRの点は存在しないから、R＼Q(S) は体 Q(S) 上代数的な
実数全体の集合である。ここに、体 Q(S) 上代数的な実数kを適当に取る。K＝(Q(S))(k) とおく。すると、
Kは体の拡大 R/Q(S) の中間体で、Rの真部分集合である。体Kの外測度を m(K)、実数体Rの外測度を m(R) とする。
すると、m(Q(S))＞0 と仮定したから、Q(S)⊂K⊂R から 0＜m(K)≦m(R)＝+∞。実数体Rの有理数体Q上の
省8
654: 2015/11/27(金)17:39 ID:qRNBmtTR(5/5) AAS
>>556
あ、>>650の最初に
>任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
を書くの忘れた。第１段はその後に続く。
655(2): 2015/11/27(金)22:13 ID:+cGpPCmW(1) AAS
>超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。
なぜm(K)＜m(R)とできるのか説明してもらえますか。
656: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/27(金)23:16 ID:Hwv6wXgh(1/4) AAS
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつも、力作ありがとう
ところで、>>650の[第１段]って、何を証明しようとしているのか、不明確なんだよね。良い線言っている気もするし、とんちんかんを言っている気もするし
命題の定立がね、不明確。証明読まないと、どういう命題を証明しようとしているのか、何を証明したのか、分からんような書き方はどうだかねー
普通の論文や教科書は
＜命題（or 定理ないし補題）＞xxxxxxxx
＜証明＞xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
省2
657(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/27(金)23:26 ID:Hwv6wXgh(2/4) AAS
>>653
どうも。スレ主です。
揚げ足取りみたいで悪いが
「Q(S)は零集合」って・・・
結論が可笑しくないかね？（＾＾；
そういうおれの直感に反する証明を、平気でするところが、おっちゃんらしいと言えばらしいけど
そこらのセンスは、働かないのかねー？
省1
658(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/27(金)23:31 ID:Hwv6wXgh(3/4) AAS
もっとはっきり書けば、
R=Q＋A＋Q（S)
Aは、代数的数の集合で、可算。Qも可算。だから、AとQは、零集合
Q（S）は、超越的数の集合で、非加算
もし、Q(S)は零集合だったら、Rは？ 零集合？
659(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/27(金)23:40 ID:Hwv6wXgh(4/4) AAS
>>568
>私が終わったら、スレ主に証明してもらう。
ギブアップするなら、いつでも言ってくれ
おれの証明は難しくないよ
ほとんど高校数学で終わりだよ
>>562
>そもそもスレ主は証明できるのか？
省3
660(1): 2015/11/28(土)05:13 ID:9GY4dyn5(1/2) AAS
スレ違いかもしれないけどすごく気になったので
ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
解法が存在しない⇒解けない、解かれていない なのでしょうが、
"解法が存在しない"事を証明する方法が存在しない」場合、
"（能力などの都合で）解けない、解かれていない"のと"解法が存在しない"の間に明確な区別は無くなり、 解法が存在しない⇔解けない、解かれていない が成り立ってしまうと考えています。
この疑問が数学者諸氏にとって実に馬鹿らしいものであることは僕のちっぽけな頭でもわかります。
省1
661(1): 2015/11/28(土)05:17 ID:9GY4dyn5(2/2) AAS
訂正
証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず
↓
証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず
662(6): 2015/11/28(土)07:24 ID:V49WFVhA(1/9) AAS
>>657-658
>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
663(1): 2015/11/28(土)07:31 ID:V49WFVhA(2/9) AAS
> もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
ガロア理論を読め。
というかそれを期待してこのスレに迷い込んだのであれば申し訳ない。
ここはガロアのガの字も出ないスレなんだｗ
スレ主に代わって謝っておきます。
664: 562 2015/11/28(土)07:38 ID:V49WFVhA(3/9) AAS
>>659
> おれの証明は難しくないよ
> ほとんど高校数学で終わりだよ
それは恐れ入りました。
665(2): 2015/11/28(土)07:44 ID:gImjm0uw(1/7) AAS
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に上下に有界な超越基底Sに含まれる、或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) を
完備とすると、I⊂S⊂(-ε,ε) (∃ε＞x) から、或る a＞0 (ε＞a＞x) が存在して、
Iは閉区間 [-a,a] の真部分集合。だから、或る b＞0 が存在して、[-b,b]⊂S から [0,b]⊂S。
体 Q(S) は通常の加減乗除について閉じているから、加減乗除を任意に可算無限回繰り返すと、
[0,b]⊂S から実数体Rが構成出来て、Q(S)＝R。従って、Q(S) は完備な順序体Rになる。
省9
666(1): 2015/11/28(土)07:55 ID:V49WFVhA(4/9) AAS
>>665
>超越基底Sは完全集合だから
超越基底Sは完全集合ではないと何回言ったら・・
667: 2015/11/28(土)07:59 ID:gImjm0uw(2/7) AAS
>>666
そのこと忘れてた。第５段では「(Q(S)は完全集合」を示したんだな。
>>665は取り消し。
668: 2015/11/28(土)08:54 ID:gImjm0uw(3/7) AAS
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を
完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して
何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する
ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に
可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を
省10
669(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)09:00 ID:novsUjda(1/6) AAS
>>662
おっちゃん、どうも。スレ主です。
実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
超越基底の「基底」の意味を考えていない？
というか、なんというか・・・
省10
670: 662 2015/11/28(土)09:10 ID:V49WFVhA(5/9) AAS
>>669
口ぶりがおっちゃんに似てるようで2度スレ主に間違えられたｗ
まあそれはいいとして。
>>669でスレ主の勘違いが証明された。ハメル基底と超越基底をごっちゃにしてないか？
671(2): 2015/11/28(土)09:10 ID:gImjm0uw(4/7) AAS
>>669
＞おっちゃん、どうも。スレ主です。
＞実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
＞
＞>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
＞>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
＞
省9
672(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)09:31 ID:novsUjda(2/6) AAS
>>660-661 &>>663
>ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
>もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
確かに、ガロア理論はそうだけど
解法＝べき根と四則による解
に限定したときに、「解けない」ということを、示すのがガロア理論
で、解法の範囲を、「べき根と四則による解」を超えて、どうなんだ？と
省6
673(1): 662 2015/11/28(土)09:38 ID:V49WFVhA(6/9) AAS
>>671
>超越拡大体 Q(S)
おっちゃんが理解しているのか不安になったので確認させてくれ。
Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
QにSを添加した体Q(S)の代数拡大体を同じ記号"Q(S)"で表してしまったわけではないよな？
674(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)09:45 ID:novsUjda(3/6) AAS
>>671
どうも。スレ主です。
ご指摘ありがとう（＾＾；
では修正します
>>669 修正
命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
省9
675(1): 662 2015/11/28(土)09:54 ID:V49WFVhA(7/9) AAS
>>674
>命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
それも間違いだよ。Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。
Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる。Sをハメル基底としたならQ(S)=Rとなり命題は正しいが。
代数拡大がわかってないのか、ハメル基底と超越基底の違いがわかってないのか、どちらかだ。
676(3): 2015/11/28(土)09:57 ID:gImjm0uw(5/7) AAS
>>673
>Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
そう。Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
Q(e)やQ(π)と混同出来ない。Q(e)とかはQ(e)上超越的なRの点があって
代数的独立の概念を考えることが出来るが、体Q(S)では、
Q(S)上超越的なRの点はなく、任意の実数はQ(S)上代数的従属になる。
そのため、体の拡大 R/Q(S) では、代数的独立な実数は存在しない。
677(1): 662 2015/11/28(土)09:58 ID:V49WFVhA(8/9) AAS
>>676
OK、レスありがとう。おっちゃんが理解していることは分かった。
678(3): 662 2015/11/28(土)10:01 ID:V49WFVhA(9/9) AAS
>>676
>Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
ここは書き間違いだな？Sの元はQ上超越的だからね。
679: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)10:04 ID:novsUjda(4/6) AAS
>>672 つづき
で、本来のスレタイの「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」が想定しているのは、ここまで
現代数学から見たときに、「ガロア理論の核心は、”数体の拡大と、その自己同型群との対応だ”」ととらえ直したんだね
これが、デデキント〜アルティン流で、いまの学部数学の主流だ
さらに、グロタン先生は、「ガロア理論の圏論化だ〜！」と言ったらしい（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
X への作用の推移性を外すことは K の分離拡大体の代わりに K 上のエタール代数を考えることに対応し、こうして K 上のエタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。
省4
680: 2015/11/28(土)10:08 ID:gImjm0uw(6/7) AAS
>>678
Sは、体Q上の線型空間の、濃度が連続体濃度cに等しい基底だな。
Sは1つの集合で、Q上超越的な実数ではない。
681: 2015/11/28(土)10:12 ID:gImjm0uw(7/7) AAS
>>678
まあ、「1つの」は余計かな。実数体Rの有理数体Q上の超越基底は複数個する。
だから、Sはその中の1つとして扱うことになる。
682: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)10:19 ID:novsUjda(5/6) AAS
>>675-678
了解！（＾＾；
超越基底が分かってなかったんだ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。
証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
省5
683: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)10:25 ID:novsUjda(6/6) AAS
新スレ立てた
あとは、こちらで（このスレはもうすぐ容量オーバーだ）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17
2chｽﾚ:math
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