[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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373(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)06:40 ID:rm0w8Qw4(1/11) AAS
>>370
おっちゃん、お疲れです。スレ主です。

>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363

これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
省14

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385(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/10(日)05:14 ID:cg233oGG(1/6) AAS
>>382 補足

>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。

"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
省10

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404(2): 2015/05/16(土)10:43 ID:zRAlyrD1(2/6) AAS
>>373
いや、実関数f:R→RがR上の或る1点aで通常のε-δによる任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x−a|＜δ(ε)のとき|f(x)−f(a)|＜ε　という意味での連続なら、fはf(x)＝x・f(1)と求まるのだが、
もしここで「xを有理数変数」、「a∈Q」として任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x−a|＜δ(ε)のとき|f(x)−f(a)|＜ε　という意味での連続にすると、fが一意にf(x)＝x・f(1)
と求まるかどうかは分からなくなる。いわゆるfのQへの制限が或る1点a∈Qで連続のときfが
一意にf(x)＝x・f(1)と求まるかどうかは分からなくなる。ハメル基底と超越基底の存在性の証明はよく似ていて
省1

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407: 2015/05/16(土)11:01 ID:zRAlyrD1(3/6) AAS
>>373
>>404の「Zornの公理」は「Zornの補題」だった。

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