[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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259(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/01(金)05:03 ID:kLen/OPb(3/7) AAS
>>258 つづき

THEOREM 4. If φ is a wild automorphism of C then φ is a discontinuous mapping of the complex plane onto itself;
in fact，φ leaves a dense subset of the real line pointwise fixed but maps the real line onto a dense subset of the plane.

Proof. By Theorem 2，φ leaves Q (a dense subset of the real line!) pointwise fixed.
By Theorem 3 we can choose b∈R such that φ(b) not∈R.
Every neighborhood of b contains a rational number (which is left fixed by φ) and the number b (which is moved by φ); hence φ is discontinuous.
For every pair of rational numbers， q and r，φ(rb+q) =φ(r)φ(b)+φ(q)=rφ(b) +q.
省5

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300(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)12:45 ID:8svvg2D/(9/27) AAS
>>299 つづき

ちょっと訳すと
for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
　↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。

当然、Qは固定で、Rは>>259のTHEOREM 4. にあるように、
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
省10

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355(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/06(水)23:45 ID:SXg2oFIb(21/21) AAS
>>338　
（この事例の写像のワイルドさについて、>>259の補足）

とりあえず、π-e=v として、（証明なしで）vは無理数とする。（もしvが無理数で無ければ、πとeでなく別の二つの適当な超越数を選ぶことができるだろう）
さて、繰り返しになるが、 interchange π and e だから、
-v＝e-π＝Φ(π) -Φ(e) ＝Φ(v)＝Φ(ω^2)＝ [Φ(ω)]^2
Φ(ω)＝±iω＝±i√v＝±√(e^(πi)*v)＝±(e^(πi)*v)^(1/2)

１）これをvのn乗根の場合に拡大すると、その一つの例は(e^(πi)*v)^(1/n)となる
省6

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