[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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200(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/28(火)22:00 ID:gRN1Z7RF(1/8) AAS
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
>(cf. Exercise A-8 and solution)
これ見落としていた
A-8
(a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective.
(b) Prove that C is isomorphic to infinitely many different subfields of itself.
A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
省8
201: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/28(火)22:16 ID:gRN1Z7RF(2/8) AAS
>>200
bijectiveは恒等写像とは違うと思う。が、解答は恒等写像・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、
写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, a bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function between the elements of two sets,
省2
202: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/28(火)22:45 ID:gRN1Z7RF(3/8) AAS
>>200
homomorphism, isomorphic
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。
構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。
しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。
単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
205(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/28(火)23:05 ID:gRN1Z7RF(6/8) AAS
>>200
(b)の方
>then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
これ、Cの中に代数閉包が無数にあると
そんな話を見た記憶があるが・・
はて、どこだっけ？
208(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/28(火)23:24 ID:gRN1Z7RF(8/8) AAS
>>204
ども
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
More mathematical examples and some non-examples
で、”The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective,”だと
一方解答>>200は、”which implies that α(a)＝ a”だ
なので、ちょっと違和感ありなんだ
213: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)06:59 ID:6XYDeD+q(4/25) AAS
>>212 似たような話が
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
省13
232(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:09 ID:6XYDeD+q(19/25) AAS
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.
ここに戻る。
省5
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