[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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188(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)19:15 ID:1rI4QMvS(18/27) AAS
>>169 関連
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Yahoo!知恵袋
jmt_maj_aさん 2010/4/26
実数体Rの自己同型は恒等写像に限られる事を示せ。
(ヒント:σを自己同型とする、x＞0ならばx^σ＞0が成り立つ。 それと有理数のちょうみつ性を用いよ）
ベストアンサー以外の回答 dezaike999さん 2010/4/26
省14
189(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)19:21 ID:1rI4QMvS(19/27) AAS
>>188 つづき
ベストアンサーに選ばれた回答 puit578さん 2010/4/26
まず、x^σという書きかたよりσ(x)という書きかたの方が見やすいので、以降、この書きかたで行くことにする。
任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることの証明…※
σ(0)=σ(0+0)=σ(0)+σ(0)より、σ(0)=0となる。
σ(1)=σ(1^2)=σ(1)*σ(1)={σ(1)}^2
σ(1)≠0よりσ(1)=1
省18
190(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)20:13 ID:1rI4QMvS(20/27) AAS
>>189 つづき
私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する．
φ(s) > s ならφ(−s) = −φ(s) < −s なので，必要なら−s をとることによってφ(s) < sとできる．
有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する．
２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする
省6
191(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)20:25 ID:1rI4QMvS(21/27) AAS
>>190 補足
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
196(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)23:09 ID:1rI4QMvS(26/27) AAS
>>191 補足
(引用開始)
>同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
省7
232(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:09 ID:6XYDeD+q(19/25) AAS
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.
ここに戻る。
省5
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