[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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153(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:35 ID:LskGPWAB(17/24) AAS
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/ URLが通らないので検索頼む
青空学園
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
省21
154(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:50 ID:LskGPWAB(18/24) AAS
>>150>>152-153
これらを総合すると、
１．実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
２．証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている
３．”（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）”>>152は、証明の要点を分かり易く説いたものだろうが、必ずしも平方根に限定されないと思われる。（平方が一番簡単だろうが）
と思います。
160(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)20:34 ID:LskGPWAB(24/24) AAS
>>159 つづき
５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが）
６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない
７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと
８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが
お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました
出題者さん、おっちゃんありがとう
省1
163(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/19(日)09:24 ID:Fta5hZD3(1/3) AAS
>>161-162
どうも。スレ主です。
みなさんレベルが高いですね
・確かに、Rの体自己同型はZやQを動かしてはならないという禁止要請がある
・しかし、それ以外の元を動かすことは、禁止事項ではない
・なお、>>153の証明は、φ(s) > s として、（φ(s) + s）/2 < a < sなる有理数aを取ったときに、矛盾が出ると
・QとRの順序構造とQの稠密性から （ φ(c) = φ(s) − a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > a だから、c = b^2 は不要だったね。他の証明法もありそうだが・・）
171(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)04:41 ID:1rI4QMvS(3/27) AAS
つづき
>>153
１．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね
２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ
184(1): 2015/04/25(土)16:55 ID:NUHAx/1J(1) AAS
>>171
（φ(s) + s）/2 < a という事実は
＞φ(c) = φ(s) − a < 0
で暗に使っている。
でもわざわざ a をこんな風に取らなくても
φ(s) < a < s
で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
省5
187: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)19:12 ID:1rI4QMvS(17/27) AAS
>>184
どうも。スレ主です。
アラシだけじゃなく、お客様も居たんだ・・
>φ(s) < a < s
>で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
問題ないと思う。（φ(s) + s）/2 は使うなら、別の使い方がありそう
>なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
省6
190(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)20:13 ID:1rI4QMvS(20/27) AAS
>>189 つづき
私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する．
φ(s) > s ならφ(−s) = −φ(s) < −s なので，必要なら−s をとることによってφ(s) < sとできる．
有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する．
２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする
省6
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