[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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125(12): 2015/04/16(木)04:59 ID:iP4tAlo3(1) AAS
>>118
Qは有理数体、Rは実数体で、>>16では
AutQ(R)＝{f|f:R→R は環同型写像、k∈Q⇒f(k)＝k}
と書いてあったとする。
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
省12
126(4): >>16出題者 2015/04/16(木)21:56 ID:ZSBDHkRC(1) AAS
>>125
小さなミスを除けば正解
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
f:R→R なので、u∈R でなければならないが、x<0 のとき、x＝u^2
を満たす u∈R は存在しない。
実際、f(x)>0⇒x>0 が言えるので、x<0 なら f(x)<0
「0≦x∈Rを任意に取り」とすれば良かった。
127(6): 2015/04/17(金)12:39 ID:/r2wdnDh(1) AAS
>>118
一応、>>125を訂正しておく。
>関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
の部分は「関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、」と訂正し、
>点x∈Rを任意に取り
の部分は「点x∈[0,+∞)を任意に取り」と訂正。あと、基本方針の2の
>任意のx∈Rに対して
省1
128(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:09 ID:N+SZ0AF4(1/5) AAS
>>125-127
どうも。スレ主です。
おっちゃん、証明ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
出題者さんも、ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
147: 2015/04/18(土)10:55 ID:YVNcus3n(1/2) AAS
>>16の(1)は、スレ主は拡大次数に注目したけど実は特に関係ありませんでした、というオチだね。
確かにガロア理論では、一般に体拡大 L/K について拡大次数 [L:K] と K 上の自己同型群の位数 card(AutK(L)) の関係は重要だけど。
結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
148: >>16出題者 2015/04/18(土)11:48 ID:xIwU7Wpr(1/2) AAS
出題者の独断で採点しました。
>>125
90点
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
惜しいミスではあるが、致命的誤りでもあるので10点減点。
＞1、AutQ(R)≠φを示す。
これを最初に示すことは必ずしも必要でないと思う。
省9
150(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)13:40 ID:LskGPWAB(14/24) AAS
>>145-146
どうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
省11
153(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:35 ID:LskGPWAB(17/24) AAS
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/ URLが通らないので検索頼む
青空学園
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
省21
192(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)20:36 ID:1rI4QMvS(22/27) AAS
>>125
おっちゃんの証明、正直なにをしようとしているのか、分からなかった
ようやく分かった
ジグソーパズル
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジグソーパズルは、1枚の絵を、いくつかのピースと呼ばれる小片に分け、ばらばらにしたものを再び組み立てるというタイプのパズル。
（引用おわり）
省4
196(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/25(土)23:09 ID:1rI4QMvS(26/27) AAS
>>191 補足
(引用開始)
>同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
省7
360: 2015/05/07(木)09:19 ID:1uRQ/Opw(4/11) AAS
>>356
>>125、>>127の方が証明としては簡単だな。
本来f(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる関数f：R→Rは1点で連続ならf(x)＝x・f(1)となるんだが、
選択公理というかハメル基底の存在を認めるとf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式について
無限個の解fが存在し、かつf(x)＝x x∈Qは任意 なる条件のために、上の手法というか命題が使えなくなるのな。
ハメル基底の定義から、必ず或る有理数はハメル基底に属すんだが。
364(1): 2015/05/07(木)09:56 ID:1uRQ/Opw(7/11) AAS
>>356
>>362
いや、>>363のようなことをすること自体ムリだから、>>125、>>127と同様に
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈[0,+∞)を任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
省7
608(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)05:19 ID:hlNpoH8z(4/14) AAS
>>605の関連
>>16 >>125 >>156 など
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