[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/

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373: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/09(土) 06:40:13.90 ID:rm0w8Qw4 >>370 おっちゃん、お疲れです。スレ主です。 >今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363 これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね 例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、 また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと 結局、それは無理だと http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation Cauchy's functional equation Proof of solution over rationals f(q) = q f(1), q ∈ Q http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。 『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。 微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。 実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。 http://en.wikipedia.org/wiki/Pathological_%28mathematics%29 Computer science In computer science, pathological has a slightly different sense with regard to the study of algorithms. Here, an input (or set of inputs) is said to be pathological if it causes atypical behavior from the algorithm, such as a violation of its average case complexity, or even its correctness. http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/373

385: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 05:14:42.49 ID:cg233oGG >>382 補足 >f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。 >より一般的な事実を知りました。 >f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。 "R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R} is dense in R^2. The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4]. Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological. [Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006. Lecture Notes in Mathematics 1876." f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という f は Lebesgue 可測でないとも>>374 想像を絶するpathological振りですね>>373 では http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/385

404: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/16(土) 10:43:33.62 ID:zRAlyrD1 >>373 いや、実関数f:R→RがR上の或る1点aで通常のε-δによる任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって |x−a|＜δ(ε)のとき|f(x)−f(a)|＜ε　という意味での連続なら、fはf(x)＝x・f(1)と求まるのだが、 もしここで「xを有理数変数」、「a∈Q」として任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって |x−a|＜δ(ε)のとき|f(x)−f(a)|＜ε　という意味での連続にすると、fが一意にf(x)＝x・f(1) と求まるかどうかは分からなくなる。いわゆるfのQへの制限が或る1点a∈Qで連続のときfが 一意にf(x)＝x・f(1)と求まるかどうかは分からなくなる。ハメル基底と超越基底の存在性の証明はよく似ていて どっちもZornの公理を使うから、超越基底が存在する以上、ハメル基底は存在することになる。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/404

407: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/16(土) 11:01:43.95 ID:zRAlyrD1 >>373 >>404の「Zornの公理」は「Zornの補題」だった。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/407

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