[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/

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153: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 17:35:23.20 ID:LskGPWAB >>125-128 分かり易い証明が下記にあった http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/ URLが通らないので検索頼む 青空学園 http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む 射影幾何 http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む 幾何学の精神 青空学園数学科 2014 年1 月13 日 より ＜3.1.3 射影幾何の存在＞ 命題29 実数体R の同型写像群A(K) は恒等写像のみの群である． 証明 恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ R が存在する．φ(s) > s ならφ(−s) = −φ(s) < −s なので，必要なら−s をとることによってφ(s) < s とできる．有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに （φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．c = s − a とおく． φ(1) = 1 なので，a =q/p と整数p とq で表す．正整数p に関しては，φ が体の同型であること からφ(p) = φ(1 +・・・ + 1) = φ(1) + ・・・ + φ(1) = p となり，φ(−p) = −φ(p) より負の整数もφ で動かない．これから φ(a) = φ(p^−1*q) = φ(p)^−1*φ(q) = p^−1*q = a となり，φ はQ の要素を動かさない．よって φ(c) = φ(s) − a < 0 一方，c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よって φ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0 これは矛盾である． 体の超越拡大に関する準備を必要とするので，次の命題の証明は略する． 命題30 複素数体C の同型群A(K) は無限群である．そのうち複素数体の実数から導かれる位 相に関して連続となるものは複素共役写像z → z~ のみである． http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/153

154: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 17:50:48.06 ID:LskGPWAB >>150>>152-153 これらを総合すると、 １．実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。 ２．証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている ３．”（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）”>>152は、証明の要点を分かり易く説いたものだろうが、必ずしも平方根に限定されないと思われる。（平方が一番簡単だろうが） と思います。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/154

160: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 20:34:23.65 ID:LskGPWAB >>159 つづき ５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが） ６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない ７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと ８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました 出題者さん、おっちゃんありがとう では http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/160

163: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/19(日) 09:24:45.56 ID:Fta5hZD3 >>161-162 どうも。スレ主です。 みなさんレベルが高いですね ・確かに、Rの体自己同型はZやQを動かしてはならないという禁止要請がある ・しかし、それ以外の元を動かすことは、禁止事項ではない ・なお、>>153の証明は、φ(s) > s として、（φ(s) + s）/2 < a < sなる有理数aを取ったときに、矛盾が出ると ・QとRの順序構造とQの稠密性から （ φ(c) = φ(s) − a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > a だから、c = b^2 は不要だったね。他の証明法もありそうだが・・） http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/163

171: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 04:41:12.31 ID:1rI4QMvS つづき >>153 １．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね ２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分 　合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」 　という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/171

184: １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/25(土) 16:55:54.29 ID:NUHAx/1J >>171 （φ(s) + s）/2 < a という事実は ＞φ(c) = φ(s) − a < 0 で暗に使っている。 でもわざわざ a をこんな風に取らなくても φ(s) < a < s で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？ >>16の(1)は、R を C とか Q(√2) とか Q(X) とかに変えると成り立たない。 なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。 それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。 いわゆる本質ってやつなのかも。 別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/184

187: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 19:12:29.50 ID:1rI4QMvS >>184 どうも。スレ主です。 アラシだけじゃなく、お客様も居たんだ・・ >φ(s) < a < s >で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？ 問題ないと思う。（φ(s) + s）/2 は使うなら、別の使い方がありそう >なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。 >それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。 >いわゆる本質ってやつなのかも。 >別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。 そうなんだ 完全に同意。で、別の証明を探してようやく見つかった気がする それを今から書くよ http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/187

190: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 20:13:59.28 ID:1rI4QMvS >>189 つづき 私、スレ主の証明 １．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。） 　 恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する． 　 φ(s) > s ならφ(−s) = −φ(s) < −s なので，必要なら−s をとることによってφ(s) < sとできる． 　 有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する． ２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする ３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※ 　 ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある) ４．φ(s) < a < sで、各辺に−aを加えて、φ(s)−a < 0 < s−a となる ５．φ(s−a) ＝φ(s)−a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s−a) の符合を変えている！） ６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。 （証明おわり） http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/190

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