[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/

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118: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/15(水) 22:08:53.35 ID:O8x0ePuw >>114 おーい、おっちゃん >>50みたく、証明おもいつかんかね？ http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/118

125: １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/16(木) 04:59:11.74 ID:iP4tAlo3 >>118 Qは有理数体、Rは実数体で、>>16では AutQ(R)＝{f|f:R→R は環同型写像、k∈Q⇒f(k)＝k} と書いてあったとする。 実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、 確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。 今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、 点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。 よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)−f(z)＝f(y−z)＝f(x)。 ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、 両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s−r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、 r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sであり、−ε＜−s＋r≦f(x)−s≦f(x)−x≦s−x≦s−r＜ε、 よって、0≦|f(x)−x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、 f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。f∈AutQ(R)は任意だったから、 体Qの体R上の自己同型fは一意的に存在して、card(AutQ(R))＝1。 基本方針 1、AutQ(R)≠φを示す。 2、f∈AutQ(R)を任意に取って、任意のx∈Rに対してf(x)≧0であり、fが単調非減少なることをいう。 3、任意のx∈Rに対してf(x)＝xをいう。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/125

127: １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/17(金) 12:39:07.29 ID:/r2wdnDh >>118 一応、>>125を訂正しておく。 >関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、 の部分は「関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、」と訂正し、 >点x∈Rを任意に取り の部分は「点x∈[0,+∞)を任意に取り」と訂正。あと、基本方針の2の >任意のx∈Rに対して の部分は「任意のx∈[0,+∞)に対して」と訂正。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/127

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