[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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373(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)06:40 ID:rm0w8Qw4(1/11) AAS
>>370
おっちゃん、お疲れです。スレ主です。
>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363
これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
省14
374(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)06:48 ID:rm0w8Qw4(2/11) AAS
>>372
どうも。スレ主です。理解が足りないんじゃないかな？
単にハメル基底だとか濃度だとか、そりゃー近視眼。 例えば下記
外部ﾘﾝｸ:junology.hatenablog.com
f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？ junologyのブログ 2013-07-13
（抜粋）
大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：
省20
375: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)06:58 ID:rm0w8Qw4(3/11) AAS
>>374 つづき
まあ、要は、 junologyのブログ 2013-07-13によれば、
キーワードは、線形代数、加法群、選択公理、線形空間の基底、Hamel基底、ε-δ、連続性、不連続な写像 R→R、Lebesgue可測 だと
学部数学の多くの部分と関係しているんじゃないのかね？
まあ、junologyのブログ 2013-07-13でも読んでみなさいよ
376: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)07:31 ID:rm0w8Qw4(4/11) AAS
>>356 ここに戻る
”２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない”
で、
１．二つの実数α>βが超越数で、その差が超越数なら問題なく上記は言える
２．この超越数という制限は、どこまで緩和できるか？
省2
378(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)09:19 ID:rm0w8Qw4(5/11) AAS
>>374 補足
こういう対比もできるんじゃないかな？
１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。
（∵順序が保存される。あるいは、x-yの平方根が適切にR上に写像できないから）
が、条件を緩めた「加群自己同型」では、不連続な写像でLebesgue 可測でないものが、選択公理を認めると存在しうる。>>374
２）R←→C
省7
379: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)09:55 ID:rm0w8Qw4(6/11) AAS
>>377 意味わからん
380(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)12:38 ID:rm0w8Qw4(7/11) AAS
>>374 補足
下記のファイルが参考になるだろう
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-dimat.unipv.it
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
外部ﾘﾝｸ:www-dimat.unipv.it
GIULIO SCHIMPERNA
Dipartimento di Matematica,
省6
381(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)13:12 ID:rm0w8Qw4(8/11) AAS
>>346 補足
そういえば、有限体の応用で、実験計画法の直交表割り付けの話があったような・・
下記かな
外部ﾘﾝｸ[html]:park.itc.u-tokyo.ac.jp
最近の統計学における代数的諸問題について． 代数的組合せ論シンポジウム．2009年6月24日．(参考資料PDF)(発表PDF）
（抜粋）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:park.itc.u-tokyo.ac.jp
省14
382(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)17:57 ID:rm0w8Qw4(9/11) AAS
>>380
下記「(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。」というのがあった
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) neko_dora_nukoさん（最終更新日時:2014/5/23）投稿日：2013/6/16
Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。
f:R→R
f(x+y)=f(x)+f(y)....(1)
省21
383(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)18:00 ID:rm0w8Qw4(10/11) AAS
>>382 ついでに
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。
空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。
非構成的な例
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
省6
384: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/09(土)18:03 ID:rm0w8Qw4(11/11) AAS
>>383 ついでに
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Discontinuous linear map
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation).
If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous.
A nonconstructive example
An algebraic basis for the real numbers as a vector space over the rationals is known as a Hamel basis (note that some authors use this term in a broader sense to mean an algebraic basis of any vector space).
省6
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