[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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110: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)15:35 ID:O8x0ePuw(1/14) AAS
どうも。スレ主です。今日はたまたま時間がある
>>107-109
おっちゃんか・・、ありがとう
>>50なんか、なかなか物知りやねと思う。ありがとう
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
この問題は、答えだけは分かった。後ほど
証明が分からないが
111(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)15:42 ID:O8x0ePuw(2/14) AAS
>>84
>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
省7
112(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)15:48 ID:O8x0ePuw(3/14) AAS
>>111 つづき
和文wikipediaは下記英文の訳だな
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Transcendence degree
The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (This follows since any element has only countably many algebraic elements over it in Q, since Q is itself countable.)
113: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)16:07 ID:O8x0ePuw(4/14) AAS
>>112 つづき
独語が面白い
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Transzendenzbasis
In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise trdeg(L:K) .
Aus trdeg(L:K)>0 folgt, dass deg(L:K) unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements t sind linear unabhangig uber K , womit bereits eine Korpererweiterung um ein transzendentes Element, K(t):K ,
unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Korpererweiterung uberein.
省6
114(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)16:17 ID:O8x0ePuw(5/14) AAS
取りあえず、答えは非加算
証明は不明ということで
116: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)21:51 ID:O8x0ePuw(6/14) AAS
>>115
どうも。スレ主です。
そうそう。単に無限大だけなら、出題者に失礼でしょう
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 だから（有限であるはずがない）
117: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:05 ID:O8x0ePuw(7/14) AAS
下記に超越拡大があるみたいだが・・、証明あるんかいね？
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
可換体論 (数学選書 (6)) 単行本 ? 1985/4 永田 雅宜 (著)
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 ? 1997/9 藤崎 源二郎 (著)
最も参考になったカスタマーレビュー
数論においてはGalois理論と付論値が、代数幾何においては超越拡大と付値
省7
118(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:08 ID:O8x0ePuw(8/14) AAS
>>114
おーい、おっちゃん
>>50みたく、証明おもいつかんかね？
119(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:20 ID:O8x0ePuw(9/14) AAS
>>111
なお、関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数
参考文献
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.jmilne.org
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
省14
120: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:22 ID:O8x0ePuw(10/14) AAS
>>119 補足
このJ. S. Milne, Fields and Galois Theory は、以前にも紹介だけした記憶がある
121(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:26 ID:O8x0ePuw(11/14) AAS
>>106
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 を、「集合の濃度」という視点で捉えたら、そういう意見もありかも・・
だが、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたらどうよ？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数(抜粋)
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
省5
122(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:32 ID:O8x0ePuw(12/14) AAS
>>121 補足
・ n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。>>111
・より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。>111
・超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
などを見ると、問題>>16の(1)は、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたら、それは関数体や多様体を理解する上で、結構重要と思わないか？
123(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:45 ID:O8x0ePuw(13/14) AAS
>>121-122
もう一つの視点は、数学的教養だと
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16は
知識として正解を知っていること、およびどうやって導くかのあらすじは
この程度の知識は、２１世紀の数学では
これが数学基礎論だったのは１００年前の２０世紀初頭か１９世紀の終わりかだろう
124(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:54 ID:O8x0ePuw(14/14) AAS
>>101 余談だが
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな
そんな教育では、数学が分からなくなる
もっともっと直感を磨くべし。天才の直観に頷けるように・・
外部ﾘﾝｸ[pdf]:center.edu.wakayama-u.ac.jp
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
10. 諸注意
省16
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