[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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128(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:09 ID:N+SZ0AF4(1/5) AAS
>>125-127
どうも。スレ主です。
おっちゃん、証明ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
出題者さんも、ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）

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129(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:17 ID:N+SZ0AF4(2/5) AAS
英文だが

外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Why does C have transcendence degree c over Q? Jan 28 '12 Mathematics Stack Exchange

7
(Of course I assume the Axiom of Choice...) Choose a transcendence basis X={xi}i∈I for C over Q. Then C is an algebraic extension of Q(X). Now here are two rather straightforward facts:

1: If F is any infinite field and K/F is an algebraic extension, then #K=#F.

2: For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X).
省3

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130: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:21 ID:N+SZ0AF4(3/5) AAS
>>129
文字化けしたか。修正下記

c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).→c=#C=#Q(X)=max(アレフ0,#X).

Since c>?0, we conclude c=#X.→Since c>アレフ0, we conclude c=#X.

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131: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:26 ID:N+SZ0AF4(4/5) AAS
似た話で下記がある

外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
What is the transcendence degree of Q_p and C over Q? Feb 16 '10 MathOverflow

7
In both cases the transcendence degree is the cardinality of the continuum. CH is not needed.

This is a corollary of the following result: let K be any infinite field, and let L/K be any extension. Then

#L=max(#K,trdegKL).
省5

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132(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/17(金)23:50 ID:N+SZ0AF4(5/5) AAS
>>129
" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
purely transcendental extensionの場合はそうなる？

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