[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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133: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)05:41 ID:LskGPWAB(1/24) AAS
>>129 補足
余談だが、日本語ではほとんど情報がない
これからは、英語の情報を取らないとだめだ
134(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)06:06 ID:LskGPWAB(2/24) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:oshiete.goo.ne.jp
ガロア理論:未知数の体の拡大 2013/03/03
ベストアンサー抜粋
ここでは話をややこしくしないよう、体といえば有理数体を含む体(標数0と同義)に限ることにします。
また、有理数体をQと表記することにします。
以下、長文ですがご参考までに。
体の拡大には、代数拡大と超越拡大というかなり性質の違う拡大があり、多くの場合これらは分けて論じないといけません。
省10
135(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)06:08 ID:LskGPWAB(3/24) AAS
>>134 つづき
一般にベキ根を入れ子にして、Qに有理数のベキ根を付け加えた体、にさらにその体の数のベキ根を付け加えた体、にさらに・・、、ということを有限回繰り返して作られる体Fをベキ根拡大体といいます。
拡大がベキ根拡大であるという性質は、体F(の共役元を全て含むガロア閉包F')の自己同型の様子に現れていて、Gal(F'/Q)が可解群(可換群による拡大を繰り返して出来る比較的簡単な群)であるということに同値になります。
n次方程式の根をn個とも全て含むような体(共役元を全て含むのでガロア拡大体になります)は、最も複雑な場合、拡大のガロア群がn次の対称群(位数n!の大きな群)になりますが、
4次以下の対称群は可解群になることが分かっているので、4次までの方程式にはベキ根を入れ子にした解の表示があるのです。
一方、5次以上の対称群は可解でないことも分かっているので、ベキ根を組み合わせた解の表示は一般にはできません。
（引用おわり）
省2
136(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)06:12 ID:LskGPWAB(4/24) AAS
>>135 つづき
日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
東大京大クラスは別として
どうもそんな気がしてきた・・
とすると、このスレのレベルも超えている・・
このスレは学部３年くらいと考えているんだ・・
が、まあ超越拡大も>>123くらいまではやりましょう！
137: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)07:15 ID:LskGPWAB(5/24) AAS
>>122 補足
MITのページがあった
外部ﾘﾝｸ:math.mit.edu
MIT 18.782 - Arithmetic Geometry Instructor: Andrew Sutherland, Grader: John Binder, Term: Fall 2013
COURSE DESCRIPTION
Arithmetic geometry lies at the intersection of algebraic geometry and number theory.
Its primary focus is the analysis of diophantine equations (x^n + y^n = z^n, for example), both from an algebraic and a geometric perspective.
省7
138(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)07:50 ID:LskGPWAB(6/24) AAS
>>132
>" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
>purely transcendental extensionの場合はそうなる？
#F(X)=max(#F,#X)は、これだけ見るとそうかなと思うが
一方、>>84に書いた
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
省2
139: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)08:03 ID:LskGPWAB(7/24) AAS
>>138 つづき
”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”下記かな？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 文字化けは修正しません
線型空間の直和
詳細は「線型空間の直和」を参照
ベクトル空間の直和（英: direct sum）とは、共通部分の自明なベクトル空間の和である。
ベクトル空間 W1, …, Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, …, Wn の（外部）直和という。これを W = W1 ? … ? Wn と表す。
省8
140(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)08:21 ID:LskGPWAB(8/24) AAS
>>123
余談だが、”The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality”は、Factで[Cohn91, Exercise 5.1(4)]だと。まあ、教養ですよ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.cs.uni-paderborn.de
Real Computability and Hypercomputation Martin Ziegler December 20, 2007
P18
Fact 2.5.
b) The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality [Cohn91, Exercise 5.1(4)].
省1
141(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)09:10 ID:LskGPWAB(9/24) AAS
>>140
まあ、教養ですよと良いながら、いまいち理解できていないが
>>40-41に戻ると
・超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる（だから、こちらからアプローチするのは難しい）
・で、加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える（が、一般のベクトル空間では言えないみたい>>138）
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
省2
142: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)09:28 ID:LskGPWAB(10/24) AAS
ケーニヒの定理 (集合論)。使えるかどうか不明だが、取りあえずコピペ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ケーニヒの定理 (集合論)
積の濃度は和の濃度より真に大きい。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
145(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)09:49 ID:LskGPWAB(12/24) AAS
>>143
どうも。スレ主です。
レスありがとう
ハーツホーンが定番（バイブル）という話はどっかに
>日本には、数論幾何、代数幾何、だ〜い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
まあ、日本のお家芸的では？
高木−広中−森の系譜か・・
省2
149: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)12:58 ID:LskGPWAB(13/24) AAS
>>146
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>「高木−広中−森の系譜」ではなく「岡−広中−森」或いは「小平−広中−森」じゃないか。
ああ、そうですね
そういう線もありですね
150(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)13:40 ID:LskGPWAB(14/24) AAS
>>145-146
どうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
省11
151(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)13:52 ID:LskGPWAB(15/24) AAS
>>141
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
>>82 より「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
外部ﾘﾝｸ:www.f.waseda.jp
村上順 早稲田
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.f.waseda.jp
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
省5
152(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)16:56 ID:LskGPWAB(16/24) AAS
>>150 関連
"体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。"(下記)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型写像のことを言う。
つまり構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、ある意味ではその対象の対称性を表わしていると言える。
対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。
省8
153(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:35 ID:LskGPWAB(17/24) AAS
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/ URLが通らないので検索頼む
青空学園
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
外部ﾘﾝｸ:aozoragakuen.サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
省21
154(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:50 ID:LskGPWAB(18/24) AAS
>>150>>152-153
これらを総合すると、
１．実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
２．証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている
３．”（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）”>>152は、証明の要点を分かり易く説いたものだろうが、必ずしも平方根に限定されないと思われる。（平方が一番簡単だろうが）
と思います。
155: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)17:54 ID:LskGPWAB(19/24) AAS
>>150 補足
まあ、数学的教養だね、これは
>>16(1)が解けなかったのは、教養が無かっただけ
早くギブアップして良かった。自力では無理だった
156(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)18:14 ID:LskGPWAB(20/24) AAS
>>151
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
直和の説明はこんな程度で委員会？
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
2009/10/31
ベクトル空間について質問です。
Ｆ上のベクトル空間Kがあるとして、このKを有限体（元が有限個の体）でＦをＫの素体とする
省14
157: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)18:23 ID:LskGPWAB(21/24) AAS
>>151
>「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
下記で委員会？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
選択公理
応用
選択公理もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
省15
158: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)18:30 ID:LskGPWAB(22/24) AAS
>>156 補足
思うに、「直和」はちょっと深いものがありそう（調べた範囲では）
一般のガロア本では、体の拡大はベクトル空間になるまでは述べているが、「直和」までは言わない
「直和」を突っ込みだすと、圏論まで行くんですかね？
で教科書では、「まあ、それはまた後で」となるのかも・・
159(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)20:22 ID:LskGPWAB(23/24) AAS
>>154 補足
１．>>16(1)は面白い問題やったね。
２．おっちゃん、前スレやったか「有理数の稠密性」とか叫んでいたから、勉強が役に立ったね
３．「証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている」と書いたが
４．実数の構成でコーシー列（有理数よりなる）を考えて、Rの自己同型はコーシー列（有理数）を動かさないという証明もありかも・・、という気がしてきた・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
実数の構成
省5
160(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/18(土)20:34 ID:LskGPWAB(24/24) AAS
>>159 つづき
５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが）
６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない
７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと
８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが
お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました
出題者さん、おっちゃんありがとう
省1
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