現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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292(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)05:55 ID:8svvg2D/(1/27) AAS
>>290 訂正

Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ・・
　↓
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ・・
（注：⊂→⊆ まあ分かるだろうけど（∵⊂に等号成立を含む場合も多いから）正確なコピペはこれ）

293(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)06:18 ID:8svvg2D/(2/27) AAS
>>292　つづき

もう一つ訂正があった

Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
　↓
Applying Zorn's lemma to F（ヒゲ）= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
（注：F（ヒゲ）は、ヒゲ文字。これのフォントが無いんだよね。まあ、原文PDFを読んでもらえば良いのだが・・）

294: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)06:24 ID:8svvg2D/(3/27) AAS
>>293 つづき

ヒゲ文字参考
外部ﾘﾝｸ[html]:www.geocities.co.jp
（抜粋）
ドイツ文字

中世ヨーロッパ的な雰囲気の漂う書体です．別名ヒゲ文字とも呼ばれています．
現在はドイツ語を著す書体としては装飾目的以外にはあまり使われてないようです．
省8

295(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)06:35 ID:8svvg2D/(4/27) AAS
>>284 つづき

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
（抜粋）
ブラックレター（Blackletter）はアルファベットの書体の一つ。

西ヨーロッパで12世紀から15世紀にかけて使われていたが、ドイツにおいてはフラクトゥール（ドイツ文字）と呼ばれるものが20世紀まで用いられていた。
このため、ブラックレター全体を指してフラクトゥールと呼ぶこともある。
また、日本語においてゴシック体と呼ばれる書体はアルファベットの書体としてはサンセリフであり、英語においてゴシック体（Gothic Script）と言うと通常はブラックレターを指すので注意を要する。
省6

296(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)06:47 ID:8svvg2D/(5/27) AAS
>>295 つづき

外部ﾘﾝｸ[html]:oshiete.goo.ne.jp
質問者：strinasacchi 質問日時：2009/07/09 13:38
ドイツ語の旧字体(ひげ文字)のフォントを提供しているサイトを教えて下さい.

No.2ベストアンサー
回答者：elttac 回答日時：2009/07/09

　参考 URL のサイトの，「Gothic」→「Medieval」のカテゴリをご覧ください。ここから，ご所望のひげ文字（フラクトゥール）をはじめとして，ブラックレター体のフォントが数多く無料で入手できます。
省6

297(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)06:56 ID:8svvg2D/(6/27) AAS
>>296 つづき

さすがに、最近ドイツヒゲ文字は見ないが、少し古い数学本ではよく使われていた
PAUL B. YALE，Pomona College氏も、1966年だから、ドイツヒゲ文字使ったんだろう
が、２ちゃんねるには合わない
まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある

そういう意味では、>>277-278のおっちゃんの努力を見ると「えらいなー」と思う反面、「ちょっとキャラが違う・・」という気がする
大体、私は自分で証明を考える前に、どこかに落ちてないか探すけどね、易しいのは別として
省2

298(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)07:09 ID:8svvg2D/(7/27) AAS
>>291-292 ここに戻る

書いていて分かった・・
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)
か。えらいことを考えているねー

普通、体の同型は一対一なんだ、特に有限の場合は
省6

299(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)07:21 ID:8svvg2D/(8/27) AAS
>>298 つづき

isomorphismはこの通りだが、Extending automorphisms to C （P140）では事情が違う
unless の例外は存在しない
だから
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
なのだ

それで、”6. Concluding remarks.の
省5

300(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)12:45 ID:8svvg2D/(9/27) AAS
>>299 つづき

ちょっと訳すと
for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
　↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。

当然、Qは固定で、Rは>>259のTHEOREM 4. にあるように、
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
省10

301: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)15:13 ID:8svvg2D/(10/27) AAS
>>288 訂正

some complex number→some complex numbersだな
よって正しくは

”Let G is a multiplicative group formed by some complex numbers without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”

*)ALFo: aleph-zero 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

302(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)15:28 ID:8svvg2D/(11/27) AAS
>>300 つづき

Qの拡大、Q(i3^(1/4), π, e)を考えると
π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する自己同型σ考えることは容易だ
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C. >>299
により、これを extended to an automorphism of C とすると、>>300の例になるんだ・・

303(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)16:00 ID:8svvg2D/(12/27) AAS
>>302 つづき
P140より
THEOREM 7. A ny automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.

Proof. Let φ be an automorphism of a subfield of C, and let F(ヒゲ) = {θl θ is an
automorphism extending φ to some subfield of C}. The proof that F(ヒゲ) satisfies
the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of
Theorem 6, the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
省14

304: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)16:37 ID:8svvg2D/(13/27) AAS
>>303 つづき

>The proof that F(ヒゲ) satisfies the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of Theorem 6

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Zorn's lemma, also known as the Kuratowski?Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:
　 Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.
It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省11

305: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)16:48 ID:8svvg2D/(14/27) AAS
>>299 ここに戻る

"Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C."

finitelyに限定された証明なので、" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
省3

306(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)17:28 ID:8svvg2D/(15/27) AAS
>>282 ここに戻る

アルティン本を礼賛する時代は終わったと思う
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp

１．分かり易さは、個人で違う。アルティン本が合う人がいることは否定しない
２．が、個人的にはアルティン本の記述は圧縮されすぎている気がする
３．アルティン本の前書きで、「ノートルダム大学の夏期学校の講義ノート」だとある
４．講義のテキストに適する本と独習本に適する本とは違うと思う
省4

307(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)17:59 ID:8svvg2D/(16/27) AAS
>>306 つづき

「エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された」（下記）
だから、それ以前のガロア理論を知る世代から見ると、アルティン本は画期的なのだろう（だからの礼賛だった）
が、最近の本は、線型代数学的な定式化はあたりまえ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抜粋
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。
省4

308(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)19:52 ID:8svvg2D/(17/27) AAS
>>307 つづき

外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
新・数学の学び方単行本 ? 2015/1/29 小平邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)

内容紹介
「数学がわかる」とはどういうことなのか。13人の数学者が実体験をもとに、それぞれの学び方を綴る。1987年刊の『数学の学び方』に新エッセイ5篇を加えた新版。
編者のほか、深谷賢治、斎藤毅、河東泰之、宮岡洋一、小林俊行、小松彦三郎、飯高茂、岩堀長慶、田村一郎、服部晶夫、河田敬義、藤田宏の各氏が寄稿。

入門的概説書として数学の世界を概観できました。
省12

309(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)20:09 ID:8svvg2D/(18/27) AAS
>>308 つづき

本題
小平邦彦 P1～「数学に王道なし」
これ面白いよ

P10 旧制中学で、藤原松三郎「代数学」を読み始めたという
”ガロアの理論がどうしてもわからなかった、などという微かな記憶がある”とある
藤原松三郎「代数学」のガロアの理論は第二巻にあるが、これはアルティン流に成る前の原ガロア論文に即した理論なんだ
省5

311: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)20:48 ID:8svvg2D/(19/27) AAS
>>309
藤原松三郎「代数学」第二巻第十一章 P193 Loewy先生は、1925,1926とある

Loewy先生のガロア理論は、下記と同じか？　なお、Coxガロア和書下P310 歴史ノート定理8.6.12にもLoewy先生が登場する
Recent Developments in the Inverse Galois Problem: A Joint Summer Research ...
著者: Michael D. Fried, ?Shreeram Shankar Abhyankar - 1995
外部ﾘﾝｸ:books.google.co.jp略 ”Loewy galois”で検索請う

Loewy先生は、微分方程式で有名のようだね(1906)
省2

312(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)20:54 ID:8svvg2D/(20/27) AAS
>>310
どうも。スレ主です。

松坂代数は、詳しく知らないが、古い本じゃなかったかね？
高木代数も、内容としては古いだろう。ガロア理論は無かったと思う。アーベルの５次代数方程式の非可解までだったろう。なので、副読本だろう
雪江代数は、好みでしょう。合う人合わない人がいるだろう。講義を受けるなら、選択肢ではないだろうが・・。
まあ、目的によるだろうね・・。それと、個人による。辿ってきた数学歴とポテンシャルと嗜好など。

314: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)21:21 ID:8svvg2D/(21/27) AAS
松坂代数はこれか？
外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp
とね日記 2014年05月31日抜粋
代数系入門：松坂和夫 1976年刊行

理数系書籍のレビュー記事は本書で253冊目。

本書は群、環、加群、体からガロア理論まで学べる昔からある現代代数学の標準的な入門書である。

「ゲージ理論とトポロジーの年表」や「アラン・コンヌ博士の非可換幾何学とは？」という記事を書いてみて代数学の大切さをつくづく思い知らされた。トポロジーにしろ解析学にしろ代数学の理解は欠かせない。
省14

315(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)21:32 ID:8svvg2D/(22/27) AAS
>>313
どうも。スレ主です。

数学の本をページ数で計るのは、ちょっと問題だろうね・・
前提としている知識の量が、ページ数が少ないもので、半端でないもの（本）がある

Artinが、分量が少ないからGW中に読める？　まあ、それはその人のレベル次第だわ・・
「Coxのガロワ理論上巻および下巻をそれぞれどれくらいの期間で読んだ」？　全部は読んでないよ。面白いところだけつまみ読みだ

具体的には、P411の第１２章「ラグランジュ、ガロワ、クロネッカー」あたり
省3

316: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)21:35 ID:8svvg2D/(23/27) AAS
>>315 補足

そういや、Artinも何度も読んでいるね
マーカーで線を引いている（＾＾
もっとも、文庫本の前だが

317(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)21:53 ID:8svvg2D/(24/27) AAS
>>312 つづき

昔の本を書評で「よいしょ」しているのがあってね・・
それにひかれて、古い本というのは、数学に関してはどうだかねー

数学に求められているものが、時代で違うと思うんだよね
戦前は、ソロバンの時代だったろう。そのころの高等数学

そして、時代は進んで、大型電子計算機、電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・
時代時代で、求められることが違うはず。エクセル、数式処理・・・・・、それらが当たり前になった時代に求められる数学と、ソロバンの時代の数学とは違うと思うんだよね
省7

319(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)22:54 ID:8svvg2D/(25/27) AAS
>>317 補足

「群だ体だ環だ」と、抽象数学で終わる時代は過ぎたのでは・・
というと言い過ぎかも知れないが、ソロバンの時代には「群だ体だ環だ」といえば称賛されたのかもね・・

だが、「エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」あたりまえの時代には
多少の高等関数（サインコサイン程度）はエクセルで処理出来る時代なんだ

浮き世離れした抽象代数だけで珍重された時代は、過ぎた気がする
２１世紀は、２０世紀には浮き世離れした抽象代数と思われた理論が、現実世界と関係を持つ時代じゃ無いかと。うまく言えないが・・
省2

320: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)22:54 ID:8svvg2D/(26/27) AAS
>>318
運営、乙！

321: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/05(火)23:33 ID:8svvg2D/(27/27) AAS
>>319補足
ああ、こんなのがあったね
外部ﾘﾝｸ:science.slashdot.jp
プログラマーで実際に数学を使っている人ってどれくらいいるの？
ストーリー by headless 2012年08月12日
（抜粋）
数学がいる例 (スコア:5, 参考になる)
省22

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