現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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209(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)06:12 ID:6XYDeD+q(1/25) AAS
>>208 つづき

そうそう、体の準同型は実は同型というのがあったね。えーと
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
定義と概要抜粋
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。
また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。

210(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)06:24 ID:6XYDeD+q(2/25) AAS
>>209 つづき
「体の準同型は実は同型」は、エム・ポストニコフ（下記）で読んだ
P40に有限次元の空間の一次変換と見なす（有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合には）ことで
P42にガロア拡大体の場合に一次変換の知識を使わずにきれに証明している
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
ガロアの理論 (1964年) (数学選書) エム・ポストニコフ (著),

212(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)06:29 ID:6XYDeD+q(3/25) AAS
>>210 つづき
エム・ポストニコフのように、「有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合」するのが正しいか、
wikipediaのように制限を付けずに「体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる」と言い切っていいか
にわかには判断できないが

「体の準同型は実は同型」が結構普通だとすると
やっぱ、「bijective→identity mapping の方が適切だろう・・」>>204と

213: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)06:59 ID:6XYDeD+q(4/25) AAS
>>212 似たような話が
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory

P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
省13

214: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)07:05 ID:6XYDeD+q(5/25) AAS
>>211 早起きは三文の得だよ

215(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)09:22 ID:6XYDeD+q(6/25) AAS
>>205 関連
前にも引用した気がするが
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。

ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ[1][2][3]ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。
この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。

体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。
省9

216: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)09:26 ID:6XYDeD+q(7/25) AAS
>>215

>・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。

「可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。」はいいんかい？
非加算じゃないのか？

217: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)09:32 ID:6XYDeD+q(8/25) AAS
英文
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

Examples

There are many countable algebraically closed fields within the complex numbers,
and strictly containing the field of algebraic numbers; these are the algebraic closures of transcendental extensions of the rational numbers, e.g. the algebraic closure of Q(π).

218: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)09:37 ID:6XYDeD+q(9/25) AAS
英文の訳か
超越数が非加算無限存在するから、
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.>>205
で、超越拡大Q(A')は非加算？
こんな話はさんざんして来た気がする・・

219: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)09:50 ID:6XYDeD+q(10/25) AAS
>>141だったね

・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる

が正しいとすれば、Qの代数拡大の全てから成る拡大体Q~（代数閉包）からC（複素数体）への拡大（超越拡大）は、非加算無限次元ベクトル拡大
とすれば、基底となる超越数（超越基底）は、非加算なるべし
それら超越基底を使えば、超越拡大Q(A')は非加算なるべし？
省1

220(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)10:01 ID:6XYDeD+q(11/25) AAS
>>119
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.jmilne.org
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）

P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C?
There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
省6

222(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)11:55 ID:6XYDeD+q(12/25) AAS
例えばどんな？

223(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)12:02 ID:6XYDeD+q(13/25) AAS
>>220
>What are the automorphisms of C?
>There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
>If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;

下記だね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
省4

227(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)14:32 ID:6XYDeD+q(14/25) AAS
>>220
>Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2

> 1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
> (see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
> 2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.

１）there are only two：ここは上記の自明と、非自明な自己同型複素共役の二つ
because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1：”measurable homomorphisms of Lie groups are continuous”の対偶だね。Lie groupsなんだ・・
省6

228(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)14:37 ID:6XYDeD+q(15/25) AAS
>>227
つづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.

The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.

In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
省1

229(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)14:39 ID:6XYDeD+q(16/25) AAS
>>228
Historical constructions
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem.[1]

When you form the union of two disjoint sets, one would expect the measure of the result to be the sum of the measure of the two sets.
A measure with this natural property is called finitely additive.
While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration,
it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity.
省7

230(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)14:45 ID:6XYDeD+q(17/25) AAS
>>229
Example
Consider the unit circle S, and the action on S by a group G consisting of all rational rotations.
Namely, these are rotations by angles which are rational multiples of π.
Here G is countable (more specifically, G is isomorphic to Q/Z) while S is uncountable.
Hence S breaks up into uncountably many orbits under G.
Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X ⊂ S with the property that all of its translates by G are disjoint from X and from each other.
省4

231: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)14:52 ID:6XYDeD+q(18/25) AAS
>>230
en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set 日本語があるね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抜粋
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。

ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。

可測集合
省11

232(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:09 ID:6XYDeD+q(19/25) AAS
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.

ここに戻る。
省5

233: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:19 ID:6XYDeD+q(20/25) AAS
R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56 >>220
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, >>228

Robert M. Solovay
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Robert Martin Solovay (born December 15, 1938) is an American mathematician specializing in set theory.

Solovay earned his Ph.D. from the University of Chicago in 1964 under the direction of Saunders Mac Lane, with a dissertation on A Functorial Form of the Differentiable Riemann?Roch theorem.
Solovay has spent his career at the University of California at Berkeley, where his Ph.D. students include W. Hugh Woodin and Matthew Foreman.
省1

234(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:25 ID:6XYDeD+q(21/25) AAS
>>224-226
どうも。スレ主です。
見たけど、まあ良いと思うけど
それぞれ、別にスレがありそうだね

このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
私の勉強は、副次的な目的として

スレの脱線で、いろんな関連・無関連のテーマは取り上げるよ
省2

236(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)15:58 ID:6XYDeD+q(22/25) AAS
>>232
ちょっと戻る

>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.

思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抜粋
省11

237(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)16:15 ID:6XYDeD+q(23/25) AAS
>>235
どうも。スレ主です。

いやー、全くそういう発想は無かったね
fの式はf(x)＝xなら自明な同型で、当然環同型写像の性質は満たす

けど、
環同型写像f：R→R
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数
省7

241(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)17:32 ID:6XYDeD+q(24/25) AAS
>>238-240
なるほど、それは、考えとしてはすばらしいね
絶対大事なことだよ

が、一つ問題は、「関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考える」が、環同型写像f：R→Rのとき常に成り立つと言えるかどうかだね
もっと言えば、>>220
"If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;"とあるだろ？
こういう例を、環同型写像f：R→Rの場合にどうやって排除するか

242: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/29(水)17:36 ID:6XYDeD+q(25/25) AAS
補足
もっと言えば、「ワイルド」な自己同型>>223 が、実数体Rで排除されるのはなぜか？だ

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