[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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395(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)06:07 ID:3tqJtzYJ(1/22) AAS
>>378 補足
”１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。”
ここ、自己同型を自己準同型に緩めると、また違う話ができるみたいだね
（下記Richard D. Mabry "Summary. If H is a Hamel basis for a field {F} over a proper subfield of {F}, then H cannot be closed under the taking of products.
"）
外部ﾘﾝｸ[htm]:lsusmath.rickmabry.org
省6
396: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)06:14 ID:3tqJtzYJ(2/22) AAS
>>395 補足
endomorphism
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、英: endomorphism）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。
例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ?: V → V であり、ある群 G の自己準同型は、群準同型 ?: G → G である。
一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏（英語版）において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。
任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X) と表記される（あるいは、圏 C を強調するために EndC(X) と表記される）。
省5
397(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)08:40 ID:3tqJtzYJ(3/22) AAS
>>380 補足
>外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-dimat.unipv.it
>Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
Hamel basisが分からないので、これ読み返していた（いまでもまだ”もや”としているが）
P1より
Existence of Hamel basis
Definition 1.
省20
398(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)08:55 ID:3tqJtzYJ(4/22) AAS
>>397 補足
" This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
∑cixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F."
この表記はイタリア流？ （i∈F）where F is finite は、日本では見かけない
下記と対比してください。Fが１から始まる自然数の有限集合ってことかな？
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
省5
399: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)09:07 ID:3tqJtzYJ(5/22) AAS
>>398 補足
この Wolfram の説明が不完全なんだよね
a set of real numbers {Uα} が、Hamel Basisだってことがうたわれてないんだわ（苦笑）
だから、最初読んだときには、意味分からなかった
>>397 GIULIO SCHIMPERNAと対比すると良く分かる
で、>>397-398を総合すると、任意のベクトル空間には、ベクトル空間の基底が取れる by The axiom of choice or Zorn's lemma.
RをQ上のベクトル空間とみたときに、同じようにベクトル空間の基底が取れる。それが、Hamel Basis
省5
401(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)10:32 ID:3tqJtzYJ(6/22) AAS
>>397>>380 訂正
"外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-dimat.unipv.it
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013"
これ、GIULIO SCHIMPERNAじゃないね・・・
ARTIN SLEZIAK氏（Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC）だろう
外部ﾘﾝｸ:thales.doa.fmph.uniba.sk
MARTIN SLEZIAK
省17
402: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)10:35 ID:3tqJtzYJ(7/22) AAS
>>400
どうも。スレ主です。
レスありがとうございます
403(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)10:38 ID:3tqJtzYJ(8/22) AAS
>>401 つづき
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)"
？ こんなの許されるのかね？ 急に言われてもわからんね・・
405: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)10:59 ID:3tqJtzYJ(9/22) AAS
突然ですが、備忘録で貼っておきます
外部ﾘﾝｸ[pdf]:shi.matmor.unam.mx
Ash - Abstract algebra, 1st graduate year course (2000)(T)(308s).pdf
406(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)11:01 ID:3tqJtzYJ(10/22) AAS
>>404
どうも。スレ主です。
おっちゃん、おひさしぶり
ところで、>>403分かりますか？
410(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)11:18 ID:3tqJtzYJ(11/22) AAS
>>234 補足
>このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
Edwards先生関連資料
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ams.org
Galois for 21st-Century Readers HM Edwards AMS 2012
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.galois.ihp.fr
Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011
411: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)11:35 ID:3tqJtzYJ(12/22) AAS
>>410 補足
「Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011」より
”In conclusion, I would like to say how pleased and grateful I am to have been invited to participate in this homage to the genius of Evariste Galois on his bicentennial.
Without wanting in any way to disparage my own book on Galois theory, published in 1984, I will say that the part of my book that was its greatest contribution,
and to which I refer most often myself, is the English translation of Galois's Premier Memoire that is in Appendix 1.
As I have tried to explain in this talk, Galois's own exposition offers in many ways the most insightful one of what we call,
and future generations will certainly continue to call, Galois theory.”
413(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)12:43 ID:3tqJtzYJ(13/22) AAS
>>410 補足
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
In this paper, I have tried to explain the First Memoir to modern readers, going through it proposition by proposition.
The most important proposition, and the one I most emphasize, is Proposition 2, the one about which Galois wrote in the margin,
“There is something to be completed in this proof. I do not have the time”
(the sections “Proposition 2” and “Proposed Revision of Proposition 2” below).
My interpretation suggests how Galois might have stated and proved it given a little more time.
省5
415(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)14:34 ID:3tqJtzYJ(14/22) AAS
>>412
おっちゃん、どうも。スレ主です。いくつか分からないところがある
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
１．おそらくb=√2という意図なんだろう。で、 f(√2) = 1だと。また、f(1)= 1だから、√2と１の二つともに写像されるんだ？
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
３．f(b) = 1の１に意味があるのか？ これが２じゃまずいのか？
省1
416: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)14:35 ID:3tqJtzYJ(15/22) AAS
>>414
どうも。スレ主です。
それは、ある程度理解できているっていう証拠だろうね
417: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)14:36 ID:3tqJtzYJ(16/22) AAS
>>415 訂正
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
↓
２．containingだから、 {1, √2}.以外の他のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
418(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)15:17 ID:3tqJtzYJ(17/22) AAS
>>413 つづき
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
Again, Study the Masters
The introduction to my 1974 book Riemann’s Zeta Function was an exhortation to “Read the classics!”
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
Abel’s contrast of “masters” to “pupils” is an important addition to the message.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements?those written by the “masters”?not the ones written by later “pupils”,
省5
420(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)15:22 ID:3tqJtzYJ(18/22) AAS
>>418 つづき
要約すると
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements - those written by the “masters”- not the ones written by later “pupils”,
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
ということ
「このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ」>>234
421: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)15:31 ID:3tqJtzYJ(19/22) AAS
>>418
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ありがとう
やはり、ハメル基底については、おっちゃんの方がよく分かっているみたいだね・・
まだもやっとしているところ下記
１．√2は、無理数というところに力点がある気がするんだが・・（無理数の例をつくった） Y/N
２．”There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.”なので、Bは VR(Q) の部分集合だよね。で、全射だが単射ではなくなっている？
省1
423(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)17:55 ID:3tqJtzYJ(20/22) AAS
>>422
ID:SzOJXhZcさん、どうも。スレ主です。
おっちゃんじゃないか・・。とすると、添削担当のメンターさんか・・
コメントありがとう
>B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
>基底の定義を知らんのか。
あまり分かっていないので・・、失礼しました
省5
424: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)17:58 ID:3tqJtzYJ(21/22) AAS
>>423 訂正
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
↓
３．もし、２がYとすると、VBQの像f(VBQ)は、１の線形結合になるから、Qになる？
が正確な記述かな・・
426(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/16(土)20:49 ID:3tqJtzYJ(22/22) AAS
>>425
どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いですねー
おっちゃんでも、メンターさんでもないか・・
レスありがとうございます！
だんだんクリアーになってきた・・
で、まだもやってとしているところ
省7
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