[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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111(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)15:42 ID:O8x0ePuw(2/14) AAS
>>84
>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
省7
112(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)15:48 ID:O8x0ePuw(3/14) AAS
>>111 つづき
和文wikipediaは下記英文の訳だな
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Transcendence degree
The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (This follows since any element has only countably many algebraic elements over it in Q, since Q is itself countable.)
119(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:20 ID:O8x0ePuw(9/14) AAS
>>111
なお、関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数
参考文献
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.jmilne.org
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
省14
122(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/15(水)22:32 ID:O8x0ePuw(12/14) AAS
>>121 補足
・ n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。>>111
・より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。>111
・超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
などを見ると、問題>>16の(1)は、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたら、それは関数体や多様体を理解する上で、結構重要と思わないか？
286(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/05/04(月)21:33 ID:jADohwWI(5/10) AAS
>>285 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
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