現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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1: １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/05(日) 12:45:49.49 ID:5o4dQmCs

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/1

576: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 08:54:13.62 ID:2DYA/PLc

>>575 つづき
抜粋
　「iモード」開発の経緯を綴った自著「iモード事件」（角川書店）を、松永真理はこう書き出している。「いつのころからか、iモードの生みの親と呼ばれるようになった。そのたびに、首を傾げながら『私ひとりが生んだわけではありませんから』と訂正を入れる」。

「とらばーゆ」の編集長だった松永真理。ベンチャー企業の副社長から転じた夏野剛。そして、異色の人材を受け入れ、1つにまとめた榎啓一。 iモードを成功に導いた立役者として華々しく雑誌のグラビアを飾った人々がいる。

ユニークなビジネス・モデルを創造し、粒ぞろいのコンテンツを集めた彼らの功績は絶大だ。しかし、松永が指摘するように、彼らの奮闘は、物語の一面でしかない。
目覚ましい成功の裏に、独創的なアイデアと型破りな人間性で困難に打ち勝った技術者の存在があったことは意外と知られていない。

まだiモードという名称も、サービスの枠組みさえもなかったころ、その原型となる技術を開発していたベンチャー企業の技術者がいた。このベンチャー企業の先進性を見抜いたのがNTTドコモの1人の技術者だった。この2人の出会いがなければ、iモードは存在しなかった。

男は、眼鏡の奥から鋭い視線で部下をにらみつける。「どこの誰とも知れない人間に、全員が雁首そろえて会いに行くほどヒマじゃないだろ」

部下を追い払い、不機嫌そうに書類を片付けた。

男の機嫌が悪いのには理由があった。外部のコンサルタントが持ち込んでくる企画の会議がこのごろ急に増えていたからだ。「PDA（携帯情報端末）と携帯電話機を合体してインターネット・サービスを実現」。
こういったたぐいの話に正直なところうんざりしていた。「どいつもこいつも、すぐPDAを開発したがる。どうせ今日の話も同じだろう」。そう考えると余計、会議に出ることが億劫（おっくう）に思えてきた。

「普通の携帯電話機がネット端末にならないとダメだ」。それが男のかねてからの持論だった。男には苦い経験があった。
2年前にスイスのジュネーブで催された「Telecom95」で、NTTドコモはPDA型の携帯電話機を出展した。来場者の評判は芳しくなく、結局製品にならずに消えた。その開発責任者がこの男だった。
つづく

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/576

588: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 10:57:16.35 ID:2DYA/PLc

>>585
linux開発で強調しておきたいこと

１．1991年に、当時フィンランドのヘルシンキ大学の学生であったリーナス・トーバルズはオペレーティングシステムに好奇心を抱くようになっていた。
当時、近代的なOSを動作させる能力を持つ Intel 80386 CPU を搭載した32ビットPC/AT互換パーソナルコンピュータが登場していた。
ワークステーションやミニコンピュータ等と比較すれば遥かに安価に入手できるものであったため、リーナスはこれを使ってUNIX互換の機能を持つOSを動作させてみたいと考えていた。
このためリーナスは、既に使用していた自作のターミナルエミュレータを改造したり、ファイルシステムなどのUnix互換APIを実装したりして、独自のOSカーネルの開発を開始した。最終的にこれが現在のLinuxカーネルへと成長することとなった。

２．当初のLinuxの実装は極めて単純なものであり、他の既存の自由でないUnixシステムのどれに対しても、その機能と実績において比肩しうるものではなかった。
また当時、自由なソフトウェアによるUnix互換OSを開発しようとしていたGNUプロジェクトは自身のカーネル (GNU Hurd) を完成していなかった（2013年現在もなお開発途上である）。
ライバルのBSDは1992年からUSLとの訴訟を抱えており権利上の問題をクリアしたバージョンがリリースされたのはFreeBSDでは1994年11月だった。
つまり、1990年代前半において、自由なUnix互換カーネルと呼べるようなもののうち、実用的で権利上の問題がないと考えられる存在はLinuxの他になかった。

３．GPLによって誰もが改良可能だったことから、より多くの機能を求める開発者たちによる改良を促した。開発者たちはLinuxカーネルを育てていくとともに、GNUコンポーネントとLinuxを統合する作業を行い、最終的に実用的かつフリーなオペレーティングシステムを作り上げた。

４．成長：開発工数見積り＝Debian GNU/Linux version 4.0 (etch)（2007年リリース） このディストリビューションは2億8300万行のコードを含んでおり、従来の方法で開発していたとするなら、3万6千人月が必要であり、80億4万ドル (2013年) が必要であったと推定された。

５．要するにリーナスの小さな一歩からLinuxの大きな成長。だが、リーナスに数十年先行するUnix, GNUの流れの中で捉えなければ、ならないのだった

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/588

592: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 12:18:18.45 ID:2DYA/PLc

>>591
蛇足だが、下記
”UNIXにはオープンな文化が育まれ、また、これら創成期に生まれた設計思想、開発手法等はUNIX哲学として発展し、現在のUNIX系OSの開発に多大な影響を与えている”
http://ja.wikipedia.org/wiki/UNIX
抜粋
1960年代ケン・トンプソンはMultics開発に携わりながら、その上でファイルとページングの新たなシステムのシミュレーションプログラムを書いた。
そして彼はベル研究所であまり使われていないDEC社製のシステムであるPDP-7を発見[8]。このPDP-7上で、アセンブリ言語を用いてこのゲームを移植し[9]、
さらにベル研究所のトンプソンとリッチーを中心とする研究者チームが、階層型ファイルシステム、プロセスとデバイスファイルの概念、コマンドラインインタプリタ、いくつかの小さなユーティリティプログラムを開発した[7]。これがUNIXの始まりである。

1970年、ピーター・ノイマンはこのプロジェクトを Multics からの言葉遊びとして Unics (UNiplexed Information and Computing Service) と名付けた[10]。Unics は結局同時に複数のユーザーをサポートできるようになり、Unix と改称された。
Multicsでの失敗に基づき、UNIXの開発はシンプルで独立したモジュール群で構成することを目標としていた。
この事は、Multicsのmulti（複）に対してuni（単）という意味がUNIXの名称に込められていることからもわかる。

1972年前半には、New York Telephone Co. の Systems Development Center にて Dan Gielan の指揮でUNIX初の商用利用が始まった。

ケン・トンプソンは静かにUNIXをソースコードと共にメディアのコピー代だけで希望者に発送しはじめ、伝承によればそれぞれに "Love, Ken" とサインを添えたという[13]。

注釈付きのUNIXカーネルのソースはコピーされて広まり、1970年代後半にはニューサウスウェールズ大学の John Lions が Lions' Commentary on UNIX 6th Edition, with Source Code を出版したことでさらに広まり、格好の教材としてよく採用された。
それに伴ってバグの修正がAT&Tに送り返されてきたため[12]、さまざまな改変がUNIXに加えられることとなった。
その結果、UNIXにはオープンな文化が育まれ、また、これら創成期に生まれた設計思想、開発手法等はUNIX哲学として発展し、現在のUNIX系OSの開発に多大な影響を与えている。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/592

596: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 19:30:35.66 ID:2DYA/PLc

ほい
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/272799.html
抜粋
(^_^.)　数学がよくできる人って、ほんとうに頭がよい人？？  質問者：yumi18 質問日時：2002/05/17
　数学をべんきょうすると、ものの見かたが単純で、ひとりよがりで、心のせまい人間になるような気がするんですが……
　ちょっとおおげさかもしれませんが、私はいまどきの人間がおちいっている数学信仰のようなものを捨てないかぎり、人類の未来はないのじゃないかなあ、とかんがえてますが、どうでしょうか？

No.16ベストアンサー  回答者：aster 回答日時：2002/05/18 08:19
数学者は、西欧中世においては、「知識人・教養人」としての必須条件は、「ラテン語を自在に使えることであった」と述べます。
そして、現代では、それが「ラテン語」ではなくなり、「数学」になっていると指摘します。

わたしの理解するところ、「数学」は、「ファッション」の可能性が高いということです。

明確に認識し、また指摘せねばならないことは、「数学」は「論理」とは異なるということです。
「メタ数学」とか「記号論理学」を通じて、「論理学」と「数学」は、二十世紀において、かなり接近しましたが、逆に、数学と論理は別のものだということが明らかになったとも言えます。

細かい話は省きますが、「論理的」であることは、真偽の判断において重要です。西欧中世は、ラテン語の教養が、人に論理性や適正な判断力、更に「智慧」を与えると考えたのです。

「論理性」も数学には含まれます。しかし、人間の「判断行為」で必要なのは、真偽だけでなく、善悪判断も必要なのです。西欧中世のラテン語教養は、古典的真偽判断能力と、善悪判断能力の「規範」というものを内含していました。

今日の「数学」には、真偽判断能力を向上させる規範があるかといえば、実は「ない」と言わざるを得ません。初等数学や中級数学なら、真偽判断が学習者にもできますが、あまりに錯綜した数学は、「論理思考」の訓練には役立ちません。

「論理」とは、多くの人にとって妥当明証とされる思考の道筋で、素晴らしく優れた数学者でないと真偽判断ができないような証明問題などは、論理思考にとって意味がないのです。数学の持つ「論理性」とは、実は非常に原始的なものだとも言えます。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/596

598: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 19:46:07.40 ID:2DYA/PLc

ほい
http://www.arp-nt.co.jp/rensai/index-sono50.html
その50　「頭がいい」とは、どういうこと？ 【執筆者】　　梶谷通稔

学問の延長から見た、いわゆる仕事が出来る人といったものに始まり、さらにまた、

「人を引きつけ纏められる能力のある人」、「常識と礼儀を知っている人」、「バランス感覚のある人」、「感情的にならず、誰に対しても常に謙虚な人」、「確固とした自分の核を持ちながら、人の個性を尊重できる人」、
「機知に富み、ユーモアセンスにあふれる人」、「常に笑みを絶やさず、周囲に気を配れる人」、「環境に恵まれなくとも、自力で能力を高める向上心がある人」、「空気を的確に読める人」、「周囲の状況を素早く的確に見極められる人」、
「臨機応変、物事に柔軟に対処できる人」、「悟りを開いた人」、「人間関係の構築がうまい人」、「誰とでもうまく付き合え人」、「人の間を上手く取り持てる人」、「皆に慕われる人間性のある人」、「家族ともうまくやれる人」、「人を敬える人」

などなど、学力や仕事力だけでなく、日常における社会生活や家庭での関わりまでを含めた人間関係の視点から見たものまで多岐にわたって出てくることになり、中でも、単独の回答というよりもこれら複数の組合せによる回答が多く、
改めて人それぞれにいろんな思いがあることを思い知らされましたが、この事実から日本語のニュアンスで言う「賢い」の意味も含めて「頭がいい」には決まった定義などのないことがわかります、と同時に、次のようなこともわかってまいりました。

これら社会人の皆さんがおしなべて言及している内容を整理してみますと、記憶力、計算力、理解力、コミュニケーション力、忍耐／継続力、判断／決断力、チャレンジ／実行力、発想／創造力、先見／洞察力、思考／問題解決力、統率／人間力などにまとめられます。
　そのうち小・中学生の回答は、前半最初のほうの項目をあげているだけですが、社会人の回答は、それ以外の項目に対する指摘が多いということです。

それらは地頭力に深く関連するものばかりです。つまり、前述のアインシュタインやビル・ゲイツ、司馬遼太郎らは、おしなべて学校の成績という一分野の能力だけでは測ることのできない地頭力が発揮されていたということになります。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/598

599: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/06(土) 19:53:48.38 ID:2DYA/PLc

へー、アラン・ソーカルね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%AB%E4%BA%8B%E4%BB%B6
ソーカル事件（ソーカルじけん）とは、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカル（Alan Sokal、1955年-）[1]が起こした事件。
数学・科学用語を権威付けとしてでたらめに使用した人文評論家を批判するために、同じように、科学用語と数式をちりばめた無意味な内容の疑似哲学論文を作成し、これを著名な評論誌に送ったところ、雑誌の編集者のチェックを経て掲載されたできごとを指す。
掲載と同時にでたらめな疑似論文であったことを発表し、フランス現代思想系の人文批評への批判の一翼となった。

事件の経過
1994年、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカルは、当時最も人気のあったカルチュラル・スタディーズ系の評論雑誌の一つ『ソーシャル・テキスト』（Social Text）に、
『境界を侵犯すること：量子重力の変換解釈学に向けて』(Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity)と題した疑似論文を投稿した。
この疑似論文は、ポストモダンの哲学者や社会学者達の言葉を引用してその内容を賞賛しつつ、それらと数学や理論物理学を関係付けたものを装っていたが、実際は意図的にでたらめを並べただけの意味の無いものであった。
ソーカルの投稿の意図は、この疑似論文がポストモダン派の研究者によってでたらめであることを見抜かれるかどうかを試すことにあった。
疑似論文は1995年に受諾され、1996年にソーシャル・テキスト誌にそのまま、しかもポストモダン哲学批判への反論という形で掲載された[2]。
当時同誌は査読制度を採っておらずこうした失態を招き、編集者は後にこの件によりイグノーベル賞を受賞している。また後に査読制度を取り入れた。

http://dic.nico
video.jp/a/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%AB%E4%BA%8B%E4%BB%B6
ソーカル事件（ソーカルじけん）とは、物理学者アラン・ソーカルによって引き起こされた学問上の事件である。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/599

602: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/07(日) 07:32:10.38 ID:/q0u/ewM

>>592 補足

Unixとインターネットの関係についても触れておきたい。下記だ
UUCP：要は、UNIXマシン同士でインターネットをやるってこと。だから、UNIXが必須だと
日本の最初のインターネットはUUCPだった
http://ja.wikipedia.org/wiki/Unix_to_Unix_Copy_Protocol
抜粋
Unix to Unix Copy Protocol（UUCP）は、UNIXマシン同士でデータ転送を行う通信プロトコルの一種。初期のインターネットの通信手段として広く使われていた。

料金定額制の電話回線において、または電話料金が安い夜間だけに、ファイルを転送したり、転送すべきデータが一定以上蓄積されたら転送するなど、ダイヤルアップで使うことが想定されている。

UUCP全盛の時代においては、バケツリレーと言う名でしばしば比喩される仕組みによって、メールやネットニュースが各組織に配信されていた。
すなわち、ある組織A（研究機関、大学、企業など）からある組織Dにメッセージを送信または配信したい場合、
組織Aから組織Dまでのインターネット経路上にある複数の組織の間で、UUCPによるメッセージ配信を順次リレーして（例えば組織A→組織B→組織C→組織Dの順に）、目的の組織までメッセージを届けていたのである。

このバケツリレーと言う思想は、TCP/IPにおけるIPパケットのルーティングにも引き継がれている。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88
抜粋
今日の日本のインターネットの基となったのは1984年に東京大学、東京工業大学、慶應義塾大学の3つの大学が互いに実験的にコンピュータをUUCPで結んだ“JUNET”であった。
やがて多くの大学や企業の研究機関がこの“JUNET”に参加し、そのネットワークが広がっていった。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/602

628: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 23:51:43.16 ID:hlNpoH8z

>>614-616
外しているかも知れないが

>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが

「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%8B%A1%E5%A4%A7
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・    L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・    E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
（引用おわり）

あと、べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/628

630: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:13:27.89 ID:Vl116sFU

>>628
ご参考
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。

有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。

より一般的に、すべての冪零群は可解群である。特に、有限p-群は冪零群であるため可解群である。
冪零群ではないが可解群である位数の小さい群の一例は、対称群S3である。 実は、位数最小の非アーベル単純群が5次の交代群A5であり、従って位数60未満のすべての群は可解である。

関連する概念
有限生成群に限って議論すれば、群のクラスには以下のような強さの関係がある(右側ほど強い条件である):

巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重巡回群（英語版） < 可解群 < 有限生成群

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
交代群
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。
V は A4 に属するふたつの互換の積として書ける元の全体 {(12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。

例外的な同型
小さい位数の交代群とリー型の群（とくに特殊射影線型群）との間には例外的な同型（英語版）と呼ばれる対応が取れるものがある。
A4 は PSL2(3) に同型である。また鏡像異種正六面体の対称性の群とも同型である。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/630

632: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:46:40.74 ID:Vl116sFU

>>631 つづき

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。

定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）

証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

対応の性質
体 EH は F の正規拡大であること（同じことであるが分離拡大の部分拡大は分離的であるのでガロア拡大である）と、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
この場合は、Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(EH/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、
まず最初に、根基による拡大（英語版）(radical extension)（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、根基拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。

クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/632

637: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 10:21:23.04 ID:Vl116sFU

>>636 つづき
マンフォードの言葉
（2008/6/6 記)
マンフォードは数学が、過度の抽象化に陥ることの危険性を警告している。
以下、それを敷衍してみる。
数学（および理論、数理物理においても）において、ある概念が発見されると、研究者はなかば本能的にその概念をできるだけ一般化しようと試みるものだ。
グロタンディークの数学というのはまさにそれを絵に描いたようなものである。
それは極端な抽象化といっていいだろう。
こういう抽象的なものは、とくに若い世代をひきつける。それゆえグロタンは、一定の期間若い数学者の英雄（または教祖）でありえた。
しかし、祭りが去ったようである。まさに、この過度な抽象化が、災いしたといえるかもしれない。
（このことが、グロタンをして失望せしめ、スペインの山奥に隠遁してしまった遠因となったかどうかはわからないが）。
数学といえども具体的対象がある。関数であるか、特定の幾何学的対象、代数的関係など。
このしっかりと具体現象がとなりにいることで、理論が生命を得る。
理論を拡大していくうちに、次第に現象から遊離したところにむかってしまうというのは、仕方がないことかもしれないが、そこが問題である。
ガウスからポアンカレの数学の道をながめてみると、理論は数学的な具体現象を的確に予測してそれを解決するというきわめて健全な営みのうえに築かれてきたのである。
現実の自然現象である物理との健全な関係もつねに保持されてきた。
数学には、歴史上、とってつけたような難問というものがいくつもある。
この難問を解決するために、気の遠くなるような抽象理論を構成していったといえるのであるが。。。。。
そして、そしてそのあげく難問が証明されたのは結構であるが、一般人はおろか数学者のなかでもごく小数の専門家にしか理解できないといういわば亀裂が生じてしまった。
数学は難解な論理をあやつることが知的な優越をもたらすものであるから、こういう状況は当然なのだと開きなおってしまえばそれまでだろうが。
この抽象化という行為は、物理の理論とくに統一理論を標榜する一連の試みにおいてみられる。
これは一種の宗教のようである。
略

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/637

649: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/20(土) 06:42:58.04 ID:w8s6oXPV

>>648
どうも。スレ主です。

ピカール・ヴェッシオか・・
googleで検索すると、現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 で２回出ている
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/04/17(火)は、私（スレ主）とは違うと思う。sageで書いているから
504 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土)は、私です。梅村 浩先生のことを書いた記憶はあるし

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/100
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/04/17(火) 05:44:00.05
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。

その他の話題 [編集]知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/504
504 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土) 12:36:29.63
>>502
梅村 浩先生、なかなか面白いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%85%E6%9D%91%E6%B5%A9
梅村 浩（うめむら ひろし 1944年 - ）は、日本の数学者。理学博士（名古屋大学）。元名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授。名古屋大学名誉教授。愛知県名古屋市出身。
専門は、代数幾何学で、微分方程式のガロア理論を研究。特に、パンルヴェ方程式の代数的構造を解明し、さらに、ガロア体のピカール・ヴェッシオ理論の代数幾何的基礎付けに成功したことで知られる。1998年、日本数学会代数学賞受賞。
（引用おわり）

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/649

650: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/20(土) 06:55:03.33 ID:w8s6oXPV

>>643
どうも。スレ主です。
ピカール・ヴェッシオ理論は、このスレでも何回か出た。初出は>>649みたいだね

>体だと、拡大体や中間体、部分体という用語はあるのに、
>群だと、部分群はあっても、拡大群や中間群という用語はないのな。
>環も同じ。あるのは部分環だけ。

確かに。ただ、環はよく知らないが、有限群論では拡大の概念はあったような記憶がある
中心拡大だったっけ？・・と、これかな？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7
抜粋
群の拡大
数学において、群の拡大（ぐん-の-かくだい、英: group extension）は、一般に特定の正規部分群と剰余群を使って群を記述することを意味する。Q および N をふたつの群とするとき、G が N による Q の拡大 (extension) であるとは短完全列
1→ N→ G→ Q→ 1
が存在することを言う。G が N による Q の拡大ならば G は群であり、N は G の正規部分群で剰余群 G/N は群 Q に同型となる。群の拡大は、Q と N が既知の群であるとき、群 G の性質を決定できるかという拡大の問題 (extension problem)の文脈で現れる。
部分群 N が群 G の中心に含まれるような拡大は、中心拡大 (central extension)と呼ばれる。

拡大問題
群 H に対してどのような群 G が H の拡大として得られるかという問いは拡大の問題と呼ばれ、19世紀の後半から深く研究がなされてきた。
研究の動機としては、有限群の組成列が部分群の列 {Ai} で各 Ai+1 が Ai のある単純群による拡大であることが考えられる。
有限単純群の分類により、有限単純群については完全に判っているので、拡大問題が解決されれば一般に任意の有限群の構成と分類についての十分な情報が得られるということになる。

拡大の分類
拡大問題を解決するというのは、H の K による拡大を全て分類すること、あるいはもっと実際的にいえば、そのような拡大全てをもっと判り易くて計算し易い数学的対象を使って表現することをいう。
一般に拡大問題は非常に困難な問題で、他に条件を付け加えてやらないと意味のある拡大の分類というものは殆ど得られない。
以下略

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/650

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