Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

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1: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 22:58:23.37 ID:/FwGOxIP

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/1

909: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:11:30.30 ID:u0x0EfOw

>>906
>グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない
>wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる

基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

まず、雪江 代数の教科書の用語から
『永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.』
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦代数の教科書
・教科書の 用語について (2012/7/7更新) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
2. 「可除環」か「斜体」か
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，
「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう.
これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.
(引用終り)

同じ用語の議論が、基礎論の用語 宇宙・クラス・集合にもあるだろう
カントールの集合論では、クラスは 全く意識されていなかった
ところが、ラッセルのパラドックスで、集合とクラスを分けて パラドックスを回避するよう 集合公理が定められた
すべて集合の集合は、許されない！　それは、クラスだとなった
時代が進んで、21世紀 >>859 薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

これに当てはまるのが、>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
集合の記号⊂を流用すると
L ⊂ V ⊂ U となる
さて、クラスの話に戻ると グロタンディークは圏論を展開するため
ノイマン宇宙Vは狭いと考えて Vを拡張して 強引に宇宙の公理を使って
全てを集合として 圏論を展開することにした

つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです
つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/909

910: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:12:55.33 ID:u0x0EfOw

つづき

では、グロタンディーク宇宙Uは 何者か？
宇宙であることは間違いない
それは、薄葉 季路氏もPDF中でも そう書いてある
クラスか？ ノイマン宇宙Vのクラスを集合として含むから クラスとも呼べないだろう
では 集合か？ L ⊂ V ⊂ U の Uに限れば、ノイマン宇宙Vを含むから 普通の集合ではない
実際、下記 強到達不能基数 κと関連して u(κ)などとも される
つまり、数学者が普通に日常に論じる集合とは 全く別ものだ
が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大

結論として、グロタンディーク宇宙Uを”集合”と定義づけても
それは、日常の普通の数学の集合とは
同列に論じられるものではないってことだよ
あとは、薄葉 季路先生にきいておくれ
専門的に論じてくれるだろうさｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である
真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる
誤って真のクラスに対して言及する心配もなくなる
宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する”
この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
強到達不能基数 κ
U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる
任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/910

911: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 21:14:58.77 ID:u0x0EfOw

>>906
>グロタンディーク宇宙は集合だし他の（同値でない）定義などない
>wikipediaもマクレーンもSGA4も望月もそう言ってる

基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

つまり、ノイマン宇宙Vではクラスでも グロタンディーク宇宙Uならば 集合となるのです
つまり、何がクラスかは 設定する公理で変わる

つづく

>>910 タイポ訂正

が 定義上は集合で しかい ノイマン宇宙Vより大
　↓
が 定義上は集合で しかし ノイマン宇宙Vより大

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/911

915: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/10(水) 23:06:19.72 ID:u0x0EfOw

>>913-914
基礎論おバカが、なんか言っているねｗ ；ｐ）

>>909 再録
薄葉 季路 (早大理工) 集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
(引用終り)

だから、宇宙は ”集合ではない”！ｗ　；ｐ）
で
　>>840 ゲーデルの Constructible universe L
ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
L ⊂ V ⊂ U
ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない
また、Lも集合ではない

この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが
だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは
圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから
Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして
圏論をやりやすく ということなわけだった

だから、そもそも 集合 vs クラス において
狭い ノイマン宇宙V では クラスだが
グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる
つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ

と 同様に グロタンディーク宇宙Uは 何者よ と考えたとき
薄葉 季路氏は「集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙で
Vは（普通の）集合ではない」ってことだが

ここらは、要するに 用語： 集合 vs クラス vs 宇宙 において
あきらかに 文脈によって 意味が変わっているってことだね
（というか、公理的集合論が考えられたのが 1900年代のはじめで
その後 ノイマン宇宙Vや 構成可能宇宙L 圏論のグロタンディーク宇宙U
その上に 薄葉 季路氏の 強制法 ”集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—”
この間100年。雪江明彦 用語について>>909 と同じで 時代によって 変遷があるってこと）

そういう用語の混乱と整理は
薄葉 季路氏の仕事だから
そっちに丸投げだ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/915

923: １３２人目の素数さん [] 2025/09/11(木) 06:28:57.03 ID:KfYwoBCP

>>915
>だから、宇宙は ”集合ではない”！

まず、これが嘘
宇宙だから集合でない、のではない
「集合論における集合の全体」は集合にならない
そういうこと

>ゲーデルの Constructible universe L
>ノイマン宇宙V 、グロタンディーク宇宙Uで
>L ⊂ V ⊂ U
>ここでも、明らかに ノイマン宇宙V は 集合ではない
>また、Lも集合ではない

Vが全体なら、V自身は集合ではないし、またその中のLも集合ではない

一方、Uとかいうものを考えるなら、VもLも集合だ
しかし、その場合も、Ｕ自身はクラス

この初歩が、高卒 ◆yH25M02vWFhP には分かってない

>この流れの中で、グロタンディーク宇宙U も その本質は 集合ではないが

本質もなにも、Uが集合の全体なら、Uは集合でない

>だが、グロタンディークがUを考えたそもそもは
>圏論をやるのには Vでは クラスだのなんだのと 不便だから
>Vを広げて Uの中に取り込んで なんでも集合にして
>圏論をやりやすく ということなわけだった

Uの中では、集合論での集合全体に相当する宇宙が集合として存在する
これを集合としての”グロタンディーク宇宙”と呼んでいる

だからUをグロタンディーク宇宙と呼ぶのは本当は誤りで
Uは「その中に”グロタンディーク宇宙”を持ち得るような集合論の宇宙」
そして、それは当然ながらグロタンディーク宇宙など持ちえない
最小のノイマン宇宙Vやゲーデル宇宙Lよりは大きい

>だから、そもそも 集合 vs クラス において
>狭い ノイマン宇宙V では クラスだが
>グロタンディーク宇宙U では 集合だとなる
>つまりは 公理の取り方で 集合 vs クラスの考えは変わるよ

公理の取り方、という言い方は誤り
Vの中ではVは固有クラスだが
Vを集合として持ち得る宇宙Uが存在すると認めれば
Uの中ではVは集合だということ
そうしたところで、Ｕの中でＵ自身が集合になるわけではない

Ｕというものが存在する、とするのは確かに追加公理によるが
いかなる公理を追加したところで、集合の全体が集合となるようにはできない
（つづく）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/923

931: １３２人目の素数さん [] 2025/09/11(木) 07:29:14.01 ID:RbyHG7kc

つづき

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10317377705
chiebukuro.yahoo
lD非公開さん
2025/7/12
微分可能な関数のクラスや、連続関数のクラス、というのは、なぜ集合ではなくクラスというのでしょうか？
集合の集合は、ZF公理系のもとでは集合ではないことが、以下のサイトに書かれていました。
https://wiis.info/math/set/set/paradox-of-russel/#elementor-toc__heading-anchor-1
上記のクラスや、他にもベクトル空間のクラスや群のクラス、環のクラスなどもありますが、これらも公理系を満たさないことが証明されるのでしょうか？
ベストアンサー
ナブラさん
2025/7/13
それが集合であるかどうかは議論に影響を与えないからです。
もしそれらのクラスが「自明に」集合であるならば、「連続関数全体の集合」と表すのが自然でしょう。しかし、もしもそれが集合でないならば嘘をつくことになりますし、大抵の場合は自明ではないでしょうから、集合であることを証明せざるを得なくなります。
しかしながら、ここでの「クラス」の使われ方は、それが「クラスであること」というよりも、「このクラスの要素であると主張すること」という意味合いが強いはずです。
これらのクラスが「クラスであることは」その定義より自明であり、これ以上の詮索は本来の議論に全くもって貢献してくれないので、ここでこの考察を止めているということです。
ちなみに、ZF(C)公理系において、ある集合からもう一つの集合への写像全体の集まりが集合になることが示せるので、そのいかなる部分集合も集合であることがわかります。ですから、「ℝ上の微分可能な実数値関数全体のあつまり」はZFCにおいて集合になります。
群、環またはベクトル空間全体のクラスはZFCにおいて全て真のクラスだったと思います（証明は忘れてしまいました）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。
ZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
無限公理はときおり最初の「巨大基数公理」とみなされる。逆に巨大基数公理は強い無限公理と呼ばれる[誰によって?]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/931

960: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/11(木) 23:16:19.24 ID:RbyHG7kc

>>957-958
ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
赤ペン先生しておくよ

>スライドp4「集合の宇宙」
>・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
>・Vは集合ではない（つまり、固有クラス）

だから、そこは Von Neumann universe Vの話だよ
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/525px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.

(引用開始)
スライドp8「到達不能基数」
Remark　到達不能基数の存在はグロタンディーク宇宙と同値である
・グロタンディーク宇宙Uは、”集合すべてからなる集まり”（＝（集合論の）宇宙）Vではない
・グロタンディーク宇宙Uは集合である
高卒 ◆yH25M02vWFhP が両者は同じ（つまりV＝U）だと誤解した
(引用終り)

間違っている
到達不能基数とは？
到達可能基数という用語はないが、平たくいえば Von Neumann universe V内の基数
つまり、ZFCで到達できる基数
が 到達可能基数です
それを超える基数が、到達不能基数
”基数”は、集合の用語を流用しているのだが
まず、Von Neumann universe V は集合ではないとしたが
グロタンディーク宇宙Uとの対比で Uは到達不能基数
V内は 全て 到達可能基数
だから V ⊂ U （∵ Uは Vの到達可能基数を全て含み そのうえ 到達不能基数でもある）

ここらの機微は、圏論をかじらないと 分らないよ
君は、圏論を囓ってないよね （＾＾
私は、わからないなりに 圏論を囓ったんだｗ ；ｐ）

にしても、ここのVon Neumann universe V は集合ではない
が
V ⊂ Uの Uが集合だというのは、相当混乱させられる議論ではありますｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry. Grothendieck’s original proposal was to add the following axiom of universes to the usual axioms of set theory: For every set
s, there exists a universe
U that contains s, i.e., s∈U.
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/960

964: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/12(金) 07:44:42.74 ID:Drl/lO9b

>>963
>「圏論を囓った」って嘘じゃないなら何の本を読んだんだか言ってみろよ

ご963（＝クローサン）か （＾＾
下記のアウディ本
今見ると、飯高先生の書評が・・・
まあ、圏論を理解できたかは あやしいがｗ 一応 ”囓った”＆”嘗めた”■

”私がまだ大学院修士課程の学生の頃、マクレーン教授が東大にきて
圏論の入門講義を行った・・・この講義はよく感動するほどよくわかった”
か・・。アタマの差を感じる　；ｐ）

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圏論 原著第2版 単行本 – 2015/9/19
スティーブ アウディ (著), Steve Awodey (原名), 前原 和寿 (翻訳)
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書評 イイタカシゲル
5つ星のうち5.0 読みやすい手軽な圏論入門書
2015年9月22日
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私がまだ大学院修士課程の学生の頃、マクレーン教授が東大にきて
圏論の入門講義を行った。英語の講義はわからないことが多かったけれど
この講義はよく感動するほどよくわかった。そのころ圏論が誕生したが
数学の本質的な進歩よりは、数学の形式の抽象的な理論の展開のように思われた。
その後、圏論の発展は著しく望月教授のａｂｃ予想の証明でも基盤になっている。
　本書は、数学科の学生ばかりではなく、コンピュータ科学、論理、言語学、認知科学
哲学の研究者、圏論を利用する他分野すべての人のためになるように書かれている。
したがって、読みやすいし、訳文も数学書としてわかりやすいようだ。
圏論の入門書として、基本事項を平易な書き方で説明している。
原著第２版で加えられたモノイダル圏の理論は私も勉強したいと思う。
62人のお客様がこれが役に立ったと考えています

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/964

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