Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (711ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

1: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 22:58:23.37 ID:/FwGOxIP

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/1

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 07:22:14.77 ID:Llrj9wIL

>>571 補足
ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから
補足しておくよ

１）集合積∩は、例えば A∩Bと A∩B' と (ここにB≠B')では積の結果が一般には異なる
　同様に∩Aλ （λは添え字）を考えると
　最初をA0として 最後をAendとすると、最初から最後まで 全て確認しないと
　∩Aλの結果が定まらない。つまり、積を構成する要素が一つ変わっただけで 結果が異なる敏感なものだということ
２）さて、下記 無限公理は、平たく言えば 空集合∅から始めて 後者を作り それを可算無限回繰り返した集合N=ωを含む無限集合Iの存在を公理として認めるというものだ
　”無限集合Iから自然数を抽出する”にあるように、上記の集合N=ωを Iの部分集合として 分出公理で取り出す
　これが いまのスタンダード
３）>>566-567 では ”部分集合として 分出公理で取り出す”をせずに 集合積∩を使っている
　この問題点は、集合積∩が その積の各要素に敏感だってことだ
　つまり、その積の要素 全てを確定しないと 集合積∩Aλ が確定しない
　なので、集合積∩を使うのは 賢くないってことだね
４）戻ると、無限公理は 集合N=ωを含む集合Iの存在を公理として認めるというものだから
　素直に、Iの部分集合として 集合N=ωを 分出公理で取り出せるならば その方がよほど賢明だ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分（英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。
共通集合、共通分[1]、交叉（こうさ）、交差（こうさ）、交わり、積集合、積（せき）[2]などとも呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
無限集合Iから自然数を抽出する
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86
分出公理
部分集合公理
主張
どの集合 A に対しても、以下を満たす集合 B が（A の部分集合として）存在する：
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/612

627: １３２人目の素数さん [] 2025/09/01(月) 10:13:58.81 ID:NdAal4Cf

>>612
＞∩Aλ （λは添え字）を考えると
＞最初をA0として 最後をAendとすると、
＞最初から最後まで 全て確認しないと
＞∩Aλの結果が定まらない。

最後ｗｗｗ

>無限公理は、平たく言えば 空集合∅から始めて 後者を作り
>それを可算無限回繰り返した集合N=ωを含む
>無限集合Iの存在を公理として認めるというものだ

はいダメ　院試の口頭試問落第
以下のように答えたら通ったんだけどね

「無限公理は、平たく言えば 空集合∅から始めて 後者を作り
それを任意有限回繰り返した集合を全て要素として持つ
無限集合Iの存在を公理として認めるというものだ」

違い、分かる？
　
>”無限集合Iから自然数を抽出する”にあるように、
>上記の集合N=ωを Iの部分集合として 分出公理で取り出す
>これが いまのスタンダード

上記のIの部分集合でやはり
「空集合∅から始めて 後者を作り それを任意有限回繰り返した集合を全て要素として持つ集合」
をつくり、上記集合のどれにも属する要素だけを持つ集合を分出公理で定義すればそれがN＝ω
これこそ本当のスタンダード

＞”部分集合として 分出公理で取り出す”をせずに
＞集合積∩を使う方法の問題点は、
＞集合積∩が その積の各要素に敏感だってことだ
＞つまり、その積の要素 全てを確定しないと
> 集合積∩Aλ が確定しないので、
＞集合積∩を使うのは 賢くないってことだね

賢くないのは、分出公理を使うのと集合積∩を使うのが実は同じと気づかない君

列に並べなきゃいけない（ウソ）とか
列には必ず最後が存在する（ウソ）とか
思ってるからトンデモ発言する

>無限公理は 集合N=ωを含む集合Iの存在を公理として認めるというものだから
>素直に、Iの部分集合として 集合N=ωを 分出公理で取り出せるならば その方がよほど賢明だ

Iのどんな部分集合として集合N=ωが取り出せるか、が重要
肝腎なのは、Iの部分集合で、無限公理を満たすもの全てに属する元だけを集めた集合をとること
それを∀を使って表しても無限個の集合の∩を使って表しても結局同じこと
なぜなら無限個の集合の∩を定義するのに∀を使ってるから

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/627

628: １３２人目の素数さん [] 2025/09/01(月) 10:19:31.00 ID:gg6LcAZV

>>624
>述語論理は、
>・プログラミング（特に論理プログラミングや形式検証）

・葦の髄から天井を覗く
・【河野玄斗】プログラミングは●●しながら学べ！　【プログラミング/IT/勉強】
・”その育児、時代遅れかも？AI活用に子どものデータで選ぶ習い事 これだけは外せない最新科学”
　「運動が苦手な子どもにおすすめの習い事はプログラミングとしたのは、東北大学加齢医学研究所で准教授を務める細田千尋氏。最近の小学生の新しく習ってみたい習いごとでは1位だといい、小学校からプログラミングが必修化し、大学受験においても情報科目が採用されるなかで、現代の子どもにとっては当たり前の能力になりつつあるという」
　子どもに、『プログラミングの前に 述語論理』を というバカ親は さすがにいないぞ

(参考)
https://imidas.jp/proverb/detail/X-02-C-40-3-0001.html
imidas 会話で使えることわざ辞典
葦の髄から天井を覗く
よしのずいからてんじょうをのぞく
浅い知識や狭い識見をもとにして、大きな問題を判断しようとすることをいう。葦の茎の穴を通して天井を見ても、天井の一部分しか見えないのに、天井全体を見たと思う愚かさにたとえる

https://youtu.be/aGPfJIhpucQ?t=1
【河野玄斗】プログラミングは●●しながら学べ！　【プログラミング/IT/勉強】
河野玄斗【世界一わかる神切り抜き】(１分もの)2021/10/09

https://www.ntv.co.jp/kazu/articles/3115ajplxx74oc0oijfm.html
日テレ
その育児、時代遅れかも？AI活用に子どものデータで選ぶ習い事 これだけは外せない最新科学
2025.07.29 『カズレーザーと学ぶ。』今回は「子育ての悩みを最新科学で解決SP」
「東大合格者も実践！？学力を爆上げする最新科学」
スタンフォード大学オンラインハイスクール校長の星友啓氏は、子どものやる気を引き出し、勉強の学習効果を上げるうえで大事な要素として、“メタ認知”を紹介。メタ認知とは、端的にいえば「自分が、何がわかっていないかを理解すること」だといい、自分の勉強の得意不得意の発見、勉強法の確立にも重要であるとのこと

東京大学医学部出身の河野玄斗氏が開講した河野塾では、このメタ認知を最大化する工夫が凝らされているという。新興の塾ながら今年東京大学に52人、京都大学に27人を合格させた実績を持つ河野塾だが、リアルタイムのオンライン授業では、生徒と講師の双方が画面に書き込み可能。講師は生徒の思考プロセスや解法を確認しながら間違っていたら即修正する。さらに予習を重視し、分からない所を授業時間で解決する“反転授業”スタイルを採用するなど、生徒のメタ認知を最大限に引き出すよう設計されているという

運動が苦手な子どもにおすすめの習い事はプログラミングとしたのは、東北大学加齢医学研究所で准教授を務める細田千尋氏。最近の小学生の新しく習ってみたい習いごとでは1位だといい、小学校からプログラミングが必修化し、大学受験においても情報科目が採用されるなかで、現代の子どもにとっては当たり前の能力になりつつあるという。脳科学者である細田氏は、プログラミングをやっている際の脳活動は、複雑な数学の問題を解いていたりとか、空間把握の問題を解いているようなときの脳活動と似ているとし、脳の観点からも良い習い事であるとコメントした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/628

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 11:10:53.43 ID:gg6LcAZV

>>571 補足の補足
(引用開始)
１）未確認飛行 Cさんで 1つ無限集合 a を選び
　a の「冪集合」P (a)で を作るところが面白い*)
　つまり 無限公理 ∃a(∅∈a∧∀x(x∈a⇒(x∪{x})∈a)).（下記無限公理の集合Iをaに書き換えた）
　だから、aは 帰納的な元の全てを含むので
　例えば a={0,1,2,・・・,ω,S1,S2・・} （ここにω,S1,S2・・は無限順序数を表す>>566 ご参照）
　などだが
　例えば a={0,1,2,・・・,S1,S2・・} と ω=N を欠いている場合でも
　P (a)で aの部分集合として ω={0,1,2,・・・} を必ず含むのです
(引用終り)

さて
　>>119-120 より再録
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
(引用終り)

ここで 未確認飛行 Cさんの大きな問題点は
”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”
の部分で
M(x)＝「x は無限集合である」を、ひらたく言えば、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合以上の集合』ということだね
そして
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
で、a^ は a の「冪集合」に含まれる 無限集合で
a^ の全ての元の共通部分
ωa ＝ ∩a^
これが、自然数の定義だという

だったら、『帰納的に後者を繰り返し無限に取った集合』を きちんと論理式  M(x)’として立てて
aのべき集合P(a)なり
aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！■
（この場合、P(a)を経由する意味が あまりないよね）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/631

632: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 11:45:34.39 ID:gg6LcAZV

>>623
>今まで、君、仕事でガロア理論とか確率過程とか使った？

まあ、そういうセンスでは
オチコボレさんになる

要するに、人生で 自分の出会う問題に使えるだけの
最小限の勉強という態度では うまくいかない
正しい態度は、知の体系的を作る メンタルピクチャー(加藤文元)、＜“big picture”＞（Terence Tao） を持つこと
昔 ”ボキャ貧”と言ったのは 小渕　恵三 さん（内閣総理大臣）だったが

言葉も同様で、英単語 300語で 話せるとかいうが
その実 英会話である程度の語彙が必要で
試験に出る 言葉が ある単語集の5000語の中のいくつかだったとして
その試験に出る いくつかの言葉 のみを勉強するという方法は取れない

と同じ理屈で、自分の数学基礎力を上げて
人生で出会う問題の数学について
ある程度は 分かるし 追加で勉強もできる
必要なら 人と会って教えを乞うなど が 目指すべきところだ
（相談のときに、相手のいうことが理解できないとまずいよね）

ガロア理論を勉強するのは、そういうことさ
メンタルピクチャー(加藤文元)、＜“big picture”＞（Terence Tao）
をしっかり構築しておけば
追加の勉強や 人に教えを乞う もできる
「抽象数学 チンプンカンプンです」とは ちょっと違うレベルに到達できるよ■

(参考)
https://www.jiyu.co.jp/singo/index.php?eid=00015
「現代用語の基礎知識」 新語・流行語大賞
第15回 1998年 授賞語
特別賞
ボキャ貧
小渕　恵三 さん（内閣総理大臣）
小渕首相が、記者団の応対の中で自らを卑下して言った言葉。自分には語彙が少ない、ボキャブラリーが貧困、つまり「ボキャ貧」だと言ったのだが、これが反対に小渕首相の造語能力の“優秀さ”を立証することになった。語感といい、語意といい、ヤングの“縮め言葉”と対抗しても勝るとも劣らない。「小渕さんて、もしかしたら“切れ者”かも」などという評価も出始めた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/632

651: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 17:46:38.38 ID:gg6LcAZV

>>645
>>aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！
>それで終わりなら、なんでやらないの？

既出だが
中高一貫生も来る可能性があるので、下記を再録しておく ；ｐ）

>>531 再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限集合Iから自然数を抽出する
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である
明らかに(*)を満たす
以下略

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271
(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人(2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1 集合論の公理 5
1.1.9 無限公理 8
P8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/651

660: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 07:26:02.45 ID:Xe3fp6ug

>>656-657
>>繰り返し無限に取る
>そんなアホなこと言ってると中高一貫生に笑われますよ
>iutでも、set theoretic formulasを扱うのに、
>本気で人が集合を操作できると思ってるヨーダし、

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから 赤ペン先生をしておくよ
下記の”極限　松田茂樹 千葉大学大学院理学研究科”を見てちょ
これは、圏論を使った 極限の話だ
1980年代の数学科では教えなかったろう　；ｐ）
要するに、” Z^ := lim ←−Z/nZ
ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる”
これが、下記 星裕一郎 宇宙際 Teichmüller 理論入門 の冒頭
”§1. 円分物”に出てくる

要するに、日常語での”繰り返し無限”は、圏論の極限で正当化される場合がある
（集合論で正当化される場合もある 例：形式的べき級数）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限　松田茂樹 千葉大
1 序
この文章は千葉大の学生向けに書いた極限についての紹介文です。主に[Ta78], [Ka76] および[Mac98], を参考にしています
集合論における, 部分集合の族の共通部分, 和集合, 直積や非連結和, ファイバー積, また, 加群の理論における核, 余核, 直積, 直和, 整数論に出てくるp進整数環や, より一般に可換環の線形位相についての完備化, これらはすべて, (圏における) 極限と呼ばれる概念を用いて定義することができる。従って, 極限を学ぶことで様々な概念を統一的に理解し, 扱えるようになる。またそれだけでなく,それらの間の関係を調べたり, これまでの手段では表現が難しかった対象をわかりやすく表現できるようになる
Ｐ10
2.4 擬順序集合上の極限の例
(2.4.11) 例 ( Z^). 自然数の集合 N に n | mなる関係で順序関係を入れ, 擬順序集合とみなす。位相環の圏(TopRng) におけるN上の逆系(Z/nZ)n を考える
略
Z/nZには離散位相を入れる。この逆極限は,
略
こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z^ := lim ←−Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星 裕一郎 の ホームページ 論文
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
宇宙際 Teichmüller 理論入門 RIMS 2019,79-183.
P83
§1. 円分物
円分物とは何でしょうか. それはTate 捻り“Z^(1)” のことです. 広義には, Z^(1) の商や, あるいは,“(Q/Z)(1)” という可除な変種も円分物と呼ばれます. 遠アーベル幾何学において, この円分物の “管理” は非常に重要です. この点について, もう少し説明しましょう
一言で“Z^(1)” と言っても, 数論幾何学には様々な“Z^(1)” が登場します. 例えば,以下が“Z^(1)” の例です:
(a) (標数 0 の) 代数閉体Ωに対するΛ(Ω) def = lim ←n µn(Ω)　　ここで, n≥1に対して, µn(Ω) ⊆Ω は, Ω の中の 1 のn乗根のなす群を表す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/660

678: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 14:35:41.82 ID:SkBP9bZ4

つづき

>「{}に0,1,2,・・・を順次追加していき、無限回の追加が完了してNが出来上がる」
>とはなっていないことは、ペアノの公理を一階述語論理上で形式化した場合に
>超準的自然数を持つモデルが生じてしまうことからも明らかである

そうですな ここで重要ポイントは、一階述語論理は 綺麗だが 弱くて不便
普段の数学は、一階述語論理しばりは うれしくないってことですね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
公理
この公理は、数学的帰納法の原理である[注釈 3]。
これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない[5]。
注釈3
^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。
範疇性
集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる[注 1]、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。
注釈１
^ すなわち全単射 φ: ℕ → ℕ^ で φ(0) = 0^ かつ φ ∘ S = S^ ∘ φ を満たすものが存在する。
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
次の3つの公理は、自然数に関する一階の命題であり、後続演算の基本的な性質を表現する。9番目の最後の公理は、自然数に対する数学的帰納法の原理に関する二階の命題であり、この定式化は二階算術に近い。
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic
Second-order logic
(google訳)
表現力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現力に富んでいます。例えば、定義域がすべての実数の集合である場合、一階述語論理では、各実数の加法逆数が存在することを次のように主張できます。
略
しかし、実数集合の最小上界性、すなわち、すべての有界かつ空でない実数集合には上限が存在することを主張するには、二階述語論理が必要である
第二階論理では、「定義域は有限である」または「定義域は可算 濃度である」という形式文を書くことができます。
History and disputed value
In recent years[when?] second-order logic has made something of a recovery, buoyed by Boolos' interpretation of second-order quantification as plural quantification over the same domain of objects as first-order quantification (Boolos 1984).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/678

683: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 17:26:29.28 ID:SkBP9bZ4

>>678 補足

>>306より
　日常の数学の下にカジュアル集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階がカジュアル集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階のカジュアル集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば いい
（元は、カジュアル集合論は 素朴集合論だったが 語感が悪いので変えた）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
(引用終り)

要するに、いまどき 複雑化した 21世紀 現代数学を まともに全部を 1階の公理的集合論で数学を する人はいない
（一部にフォーマルな1階論理が向いている議論があるとしても）
カジュアル集合論や圏論をまじえて
日常の数学が遂行されている気がする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/683

694: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 21:01:51.06 ID:Xe3fp6ug

>>693
>一階述語論理では形式化できないseta数学なんでしょ
>iutとお似合いなんじゃねーの

IUTは 圏論使っていると宣言しているでしょ
そして 圏論は、一階述語論理しばりではない（下記）
https://www.utp.or.jp/book/b305702.html
圏論による論理学 (冊子版)
高階論理とトポス
発売日 2007/12/14 清水義夫 著

>>692
>論理式はもちろん自然言語で書き直せる

話は逆だよ
正しい数学理論は、大体は 形式論理で書けて
よって、自動証明なども適用できる
しかし、現状では 数学定理の自動証明の敷居は高い
全部の投稿論文の証明には適用できない
（が、いまのAIや LLM が発達すれば 全部自動証明の適用可能かもよ）

>具体的には∀と∃に関する推論が分かってない
>ナイーブに⋀と⋁を無限回使えばいいと思ってる

話は逆
人の書いた数学論文で 自然数を使わない論文は おそらくは皆無
∀と∃などの記号論理だけの推論で進めると 人は読めない
それに近いのが IUTであり 最近では 幾何学的ラングランズ予想の証明かも
https://www.reddit.com/r/math/comments/1i4x1m9/drinfelds_comment_on_the_geometric_langlands/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 か月前
ドリンフェルドの、ラスキンの幾何学的ラングランズ予想の証明に対するコメント： 「この結果の重要性を非数学者に説明することは不可能だ。正直言って、数学者に説明するのも非常に難しく、ほとんど不可能だ。」
New Scientist の記事から。

>>691
(引用開始)
>>686のハンパなコピペのつづき
「V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,≤,1) ∈ Mを考える。
略
もし G が M の要素なら P\G も M の元となるから G は Mの元にはならない。」
(引用終り)

これも 話は逆
上記を ∀と∃などの記号論理だけで表現してみな
強制法の核心部分の説明をよｗｗｗ
出来ないだろ？
自然言語を使う方が、圧倒的に分かり易いんだよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/694

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.024s