面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (301ﾚｽ)
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ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
1(5): 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math
まとめwiki
外部ﾘﾝｸ:w.atwiki.jp
199: 2025/08/07(木) 16:41:31.87 ID:v7ISirIJ(1) AAS
下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！
lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ]
200: 2025/08/07(木) 20:59:17.54 ID:DhukNUyo(1) AAS
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い？
201: 2025/08/11(月) 01:28:45.28 ID:fRqBIPZy(1) AAS
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202: 2025/08/11(月) 17:07:17.30 ID:LKCAkMsb(1) AAS
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください
a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、
( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203: 2025/08/11(月) 22:48:59.61 ID:Pq2BAI/Y(1/2) AAS
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？
204: 2025/08/11(月) 22:53:01.02 ID:Pq2BAI/Y(2/2) AAS
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205: 2025/08/12(火) 05:14:55.30 ID:08QF4Run(1) AAS
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206(1): 2025/08/12(火) 10:06:34.48 ID:VI166Ty2(1/2) AAS
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207(1): 2025/08/12(火) 13:00:58.39 ID:epvPvzIT(1) AAS
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208: 2025/08/12(火) 17:14:52.25 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
209: 2025/08/12(火) 19:22:49.38 ID:MToRQVN4(1) AAS
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210: 2025/08/12(火) 21:51:19.11 ID:9WhM+6C5(1) AAS
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: 2025/08/13(水) 03:48:00.47 ID:IPcCDEha(1) AAS
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4
1/3
=1/(-6)+1/2
=1/4+1/12
=1/6+1/6
1/4
=1/(-12)+1/3
=1/(-4)+1/2
省3
212(1): 2025/08/13(水) 04:03:31.29 ID:v773YyBJ(1/5) AAS
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: 2025/08/13(水) 04:03:35.79 ID:v773YyBJ(2/5) AAS
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: 2025/08/13(水) 04:03:50.45 ID:v773YyBJ(3/5) AAS
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2
□
215: 2025/08/13(水) 04:04:31.05 ID:v773YyBJ(4/5) AAS
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: 2025/08/13(水) 04:04:36.38 ID:v773YyBJ(5/5) AAS
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: 2025/08/13(水) 15:57:23.97 ID:+55xP2/J(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218(1): 2025/08/13(水) 20:45:15.57 ID:nQyqYDxf(1) AAS
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: 2025/08/13(水) 21:12:51.40 ID:YyYKqHVs(1) AAS
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: 2025/08/14(木) 01:55:06.66 ID:itMo6PT5(1) AAS
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221: 2025/08/14(木) 05:29:03.55 ID:/DikW1nE(1) AAS
知らんがな
222: 2025/08/14(木) 19:50:05.44 ID:/CzpVmg3(1) AAS
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223: 2025/08/15(金) 12:41:46.38 ID:yd6fSpXf(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224(1): 2025/08/15(金) 13:20:09.53 ID:IcJOCdHO(1) AAS
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225: 2025/08/15(金) 14:13:02.28 ID:n4KBK1iW(1) AAS
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
226: 2025/08/15(金) 17:21:07.65 ID:5OgVZXhc(1/2) AAS
異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる
17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ
227: 2025/08/15(金) 21:06:16.97 ID:oC7J3nsx(1) AAS
1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5
228: 2025/08/15(金) 22:05:55.91 ID:5OgVZXhc(2/2) AAS
お見事です
229: 2025/08/16(土) 05:21:13.76 ID:v5em7mVI(1) AAS
>>218
答えプリーズ
230: 2025/08/16(土) 18:41:31.24 ID:0GcVJ2or(1) AAS
∫[0,1] xlog(1+x)sin(πx) dx
を求めよ。
231: 2025/08/18(月) 17:52:44.34 ID:dxGqGsbL(1) AAS
q = nPs / rPs とおく。q は 1 より大きい有理数だから有限付値 v を v(q)>0 となるようにとれる。このとき
nCs = q ⋅ rPs/s! = q ⋅ rCs
nCr = q ⋅ (n-s)P(r-s)/(r-s)! = q ⋅ (n-s)C(r-s)
により
v( nCs ) = v(q) + v( rCs ) > 0
v( nCr ) = v(q) + v( (n-s)C(r-s) ) > 0
232: 2025/08/18(月) 19:56:06.12 ID:Y/tdXQ55(1) AAS
ある一つの長方形を、全て同じ面積を持ち互いに合同でないような複数の長方形に分割することは可能か。
233: 2025/08/18(月) 23:05:57.67 ID:ckxrpVZH(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
234: 2025/08/18(月) 23:09:04.81 ID:ckxrpVZH(2/2) AAS
あ、同じ面積ね
235: 2025/08/20(水) 23:48:21.14 ID:Knx9FYob(1) AAS
これの4枚目
外部ﾘﾝｸ:x.com
236(1): 2025/08/21(木) 00:52:15.66 ID:1ejVsqNi(1/2) AAS
AA省
237: 2025/08/21(木) 01:08:06.86 ID:1ejVsqNi(2/2) AAS
AA省
238: 2025/08/21(木) 06:11:12.97 ID:2T693P24(1) AAS
>>236
正解（想定解と同じ）
有理数でできるかなあとかも考えたけどわからず断念
239: 2025/08/21(木) 07:08:11.49 ID:OXajF8xh(1) AAS
6枚以下では無理そうだな
240: 2025/08/21(木) 21:32:12.03 ID:GLF5VvVp(1) AAS
実数からなる集合X, Yがある。
X={x|0＜x＜a} ←aは正の実数
Y={y|2＜y＜4}
次の各命題が成り立つための必要十分条件を選択肢の中から選べ。
命題1 全てのx∈Xと全てのy∈Yに対してx＜yとなる
命題2 「全てのx∈Xに対してx＜y」となるy∈Yが存在する
命題3 全てのx∈Xに対して「x＜yとなるy∈Yが存在する」
選択肢（16個）
a＜2, a≦2, a＞2, a≧2, a=2, a≠2
a＜4, a≦4, a＞4, a≧4, a=4, a≠4
2＜a＜4, 2＜a≦4, 2≦a＜4, 2≦a≦4
241: 2025/08/22(金) 02:03:46.51 ID:zIhHzlhN(1) AAS
命題1 a≦2
命題2 a<4
命題3 a≦4
242: 2025/08/22(金) 06:02:21.42 ID:V72GFM2q(1) AAS
お見事です
243: 2025/08/22(金) 12:07:26.87 ID:NiaROQwG(1/3) AAS
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+k^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
244: 2025/08/22(金) 15:01:43.39 ID:NiaROQwG(2/3) AAS
すいません訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+x^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
245: 2025/08/22(金) 15:02:09.45 ID:NiaROQwG(3/3) AAS
すいませんさらに訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] ln{{1+k^(1/n)}/2} dx ]
を求めよ。
246: 2025/08/22(金) 16:52:23.83 ID:w9HGuAIb(1) AAS
訂正や訂正とか訂正になってねーよとかな訂正で埋め尽くす芸風、誤答おじさんインスパイアかな？
247: 2025/08/22(金) 17:52:41.71 ID:w3MqpW0+(1) AAS
東大の問題を参考にしたんだろうけど正直この東大の問題受験縛りがなければ実にくだらない
方程式使っちゃいけないという縛りの元でしか成立しない鶴亀算の類いのしようもない問題
248: 2025/08/24(日) 16:37:34.95 ID:M5ZBmT+B(1) AAS
定積分
∫[0,1] exp(-x)log(1+x) dx
を求めよ。
249(2): 2025/08/25(月) 00:34:21.82 ID:A5OAO5Hu(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
integral_0^1 log(1 + x) exp(-x) dx
=
e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
250: 2025/08/25(月) 01:50:25.55 ID:lX1A1M9/(1) AAS
>>249
>Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
F(x)=integral exp(-x)log(1+x) dx
>e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
=F(1)-F(0)
251(2): 2025/08/27(水) 21:02:21.19 ID:xqGeek16(1) AAS
1000本のワインがありそのうち半数の500本には毒が入っている。
その毒は飲んだら15～20時間の間のランダムな時間で死ぬ。
全ての毒入りワインを24時間以内に確実に特定するには最低何人の奴隷が必要か。
252: 2025/08/27(水) 21:05:15.02 ID:EYI+RFKW(1/2) AAS
勘で５人
253: 2025/08/27(水) 21:06:19.32 ID:EYI+RFKW(2/2) AAS
あ、500本毒入ってるのか
254: 2025/08/27(水) 21:26:44.71 ID:U6mAtjeQ(1) AAS
とりあえず500人に適当に一本ずつ飲ませればいけるのか
255: 2025/08/28(木) 02:49:23.35 ID:R2O2+9AR(1/2) AAS
24時間以内なのを見てなかった
256: 2025/08/28(木) 04:43:13.44 ID:VnzuKB2B(1/3) AAS
場合の数は 1000C500 通り
2^994＜1000C500＜2^995
であるから、理論的には最低995人必要
995人で出来るかどうかは知らん
257(1): 2025/08/28(木) 04:46:49.01 ID:PVUsvSkR(1) AAS
状況は1000C500通りある
各人の状態は生きるか死ぬかの2通りとすると
log_2 (1000C500)で約994.69なので995人以上必要
995人でできるかは知らん
258: 2025/08/28(木) 07:13:24.43 ID:VnzuKB2B(2/3) AAS
>>249
これ以上簡単にはならなそう
-eEi(-1) = G = 0.5963... ( Gompertz 定数 )
はいくつかの定積分、級数、連分数で表せる
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
これ以上は出題者に聞くしかない
259(1): 2025/08/28(木) 13:20:20.57 ID:hrv7SU1N(1) AAS
6本のワインのうち2本に毒が入っている
その毒は飲んでから15〜20時間後のランダムな時間で死ぬ
24時間以内に全ての毒入りワインを見抜くには何人の奴隷が必要か？
太郎くんはこう考えた
毒入りワインのパターンは全部で15通り
4人の奴隷の生死は16通りあるから4人いれば特定できるはずだ
太郎くんのこの考えは正しいか？
260: 2025/08/28(木) 14:06:11.44 ID:ePWISIU3(1) AAS
太郎君が正しいのか正しくないのかその他なのか…はさておき
当然、どこがどう面白いのかを明確に説明する気満々の上での出題ですよね
261: 2025/08/28(木) 15:36:43.64 ID:VnzuKB2B(3/3) AAS
高校数学のスレに
8本のうち2本
結果待ち不可の条件なし
で類題が投下されたことがある
誰も解かずにスルーされてた
荒らされすぎてもう新スレが立たなくなったな
262: 2025/08/28(木) 16:17:54.72 ID:R2O2+9AR(2/2) AAS
なんだか誤り訂正符号を頑張れば解けるんかな
263: 2025/08/28(木) 16:22:58.58 ID:pg97dRak(1) AAS
ヤフー知恵袋にもあるね
264: 2025/08/29(金) 03:54:21.57 ID:cgED+EFx(1) AAS
これか
math.stackexchange.com/questions/639/logic-problem-identifying-poisoned-wines-out-of-a-sample-minimizing-test-subje
でも>>251の答えはないな
265(2): 2025/08/29(金) 06:34:20.63 ID:e60Qap8s(1/2) AAS
>>251 のヒント
ワイン全体の集合をW、奴隷全体の集合をSとおく。
集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合を2^Xとおく。
また、集合Xと整数kに対し、X(k) = {Y⊂X : |Y| = k} とおく。
どのワインをどの奴隷に飲ませるかを表す写像 f:W→2^S を考える。
V⊂Wに対して f(V):=∪_(v∈V)f(v) と定めることにより、fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
問題は、拡張したfの W(500) への制限が単射になるような f が存在する最小の |S| を求めることと言い換えられる。
（ここからヒントの本題）
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。（なぜか？）
266: 2025/08/29(金) 06:36:21.32 ID:e60Qap8s(2/2) AAS
>>265
誤
fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
正
fは2^Wから2^Sへの写像に拡張できる。
267(1): 2025/08/29(金) 08:11:55.60 ID:aSTx3uCs(1) AAS
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。
がそもそも数学の問題としての問題文として成立してないやん
268(1): 2025/08/29(金) 08:36:52.20 ID:pG2i3ifz(1) AAS
とりあえず995人以上は必要>>257
999人では可能
∵ 999本のワインを999人に飲ませる。500人死ねば死んだ500人の飲んだワインが毒入り。499人死ねばその499本と誰も飲んでないワインが毒入り
この隙間を埋める問題
269: 2025/08/29(金) 12:11:41.15 ID:liMNyBU6(1) AAS
>>267
その文では拡張したfをfと同じ記号で使ってるよ
紛らわしくてすまんね
270: 2025/08/29(金) 14:25:45.20 ID:RysJSoA6(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。
極限
lim[n→∞] f(k,n)
を求めよ。
271: 2025/08/29(金) 16:07:20.21 ID:51ikz61b(1) AAS
「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。
272: 2025/08/29(金) 16:17:04.08 ID:itPlGYv3(1) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
1^(2k+1)-n+1<0
0<f(n,k)<1
f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k)
limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0
273: 2025/08/29(金) 19:15:05.63 ID:wapwkLPP(1) AAS
n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが
n-2人以下でできないのは当然として
n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ
6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ
274(1): 2025/08/30(土) 14:17:15.37 ID:kaOtwNfL(1) AAS
>>265 ヒント続き
（証明）
k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時
|W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k
より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。
もし f(A)=f(B)と仮定すると、
f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C)
となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。
ゆえに f(A)≠f(B).
（終わり）
275: 2025/08/30(土) 15:44:07.13 ID:HfVP711t(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。
（1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。
（2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、
極限lim[n→∞] a[i]
を求めよ。
276: 2025/08/30(土) 17:24:23.61 ID:SzW44Fp8(1/2) AAS
aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。
このとき、bの偶奇を判定せよ。
277(1): 2025/08/30(土) 18:28:46.27 ID:2/v7Mp9d(1) AAS
αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 )
278: 2025/08/30(土) 18:56:09.11 ID:SzW44Fp8(2/2) AAS
お見事です
279: 2025/08/30(土) 18:56:43.70 ID:fWoX7QGu(1/3) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
n>2
1^(2k+1)-n+1<0
m=3
lim a[1]=-∞
lim a[2]=0
lim a[3]=∞
280: 2025/08/30(土) 19:01:23.80 ID:fWoX7QGu(2/3) AAS
>>277
>αβγ≡1 ( mod 2 )
なんで？
α+β+γ=0
では？
281: 2025/08/30(土) 19:02:25.77 ID:fWoX7QGu(3/3) AAS
ああそうか
意図分かった
282(2): 2025/08/31(日) 18:56:12.09 ID:QaV2l/9l(1/2) AAS
>>274 ヒント続き
（今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ）
Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
|A|=|B|の時は証明済み。
|A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。
0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、
A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。
f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。
（終わり）
283: 2025/08/31(日) 19:56:08.47 ID:hUOxpuc6(1) AAS
要するに
V、S:有限集合
f:S→2^V
♯V>♯S
∀w∃s w∈f(s)
→
∃A,B s.t.
♯A=♯B=⌈♯W/2⌉
{s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ}
A≠B
を示せばいいんだよな
示せたと思うけど今サウナ泊まりに来ててパソコンないからかけない
284: 2025/08/31(日) 21:44:05.05 ID:QaV2l/9l(2/2) AAS
>>282
誤 A⊂A'⊂B
正 A⊂A'
285: イナ ◆/7jUdUKiSM 2025/09/01(月) 10:48:17.33 ID:bD/AUJQV(1) AAS
>>259
三人で一人三本ずつ飲むと、
たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、
太郎がA,Bを、
次郎がC,Dを、
花子がE,Fを飲んだと.
これだと二人死んだらだめだ.
ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、
太郎がA,B,Cを、
次郎がB,C,Dを、
花子がC,D,Eを飲んだら、
わかる.
286(1): 2025/09/01(月) 14:45:50.94 ID:FRAqeS7G(1) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
287(1): 2025/09/02(火) 13:47:57.37 ID:y/H4brb4(1/2) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。
288: 2025/09/02(火) 15:07:15.31 ID:jTpZzzZq(1) AAS
>>286-287
高校数学で解けるのな
二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか
3つの角のsinとcosの和と積の最大
外部ﾘﾝｸ:examist.jp
289: 2025/09/02(火) 17:48:58.14 ID:fZOAs2Xe(1/11) AAS
以下有限グラフ G = (V,E) とは 有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下 「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。
グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。
290: 2025/09/02(火) 17:49:12.90 ID:fZOAs2Xe(2/11) AAS
補題 任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。
(1) #G ≦ 2
(2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。
(∵) 容易。□
291: 2025/09/02(火) 17:49:28.95 ID:fZOAs2Xe(3/11) AAS
AA省
292: 2025/09/02(火) 17:50:58.73 ID:fZOAs2Xe(4/11) AAS
以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。
補題 G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。
(∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。
(i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。
293: 2025/09/02(火) 17:51:03.77 ID:fZOAs2Xe(5/11) AAS
AA省
294: 2025/09/02(火) 17:51:16.05 ID:fZOAs2Xe(6/11) AAS
以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに
(※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅
とする。
(W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。)
295: 2025/09/02(火) 17:51:44.42 ID:fZOAs2Xe(7/11) AAS
補題 (※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。
(1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉
(2) S(A) = S(B)
(∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。
#S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。
296: 2025/09/02(火) 17:52:33.87 ID:fZOAs2Xe(8/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。
297: 2025/09/02(火) 17:53:26.73 ID:fZOAs2Xe(9/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。
298: 2025/09/02(火) 17:53:30.77 ID:fZOAs2Xe(10/11) AAS
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。
299(1): 2025/09/02(火) 17:53:49.19 ID:fZOAs2Xe(11/11) AAS
#S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で
(1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉
(2) S(A’) = S(B’)
となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □
300: 2025/09/02(火) 19:28:54.48 ID:y/H4brb4(2/2) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、2sinA+sinB+sinC+sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
301: 2025/09/02(火) 22:27:43.25 ID:Mll4sRUZ(1) AAS
>>299
うお…すごい大作だ 本当にお疲れ様
まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね
>>282 の続き
Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。
A_1:=A∪{w_1}, A_2:=A∪{w_2} とおくと、最初に証明した補題より f(A_1)≠f(A_2) であるから、
f(A) ⊂ f(A_1)∩f(A_2) は f(B) ⊃ f(A_1)∪f(A_2) の真の部分集合である。
（終わり）
（主張の証明）
2^W の部分集合 W_0 を W_0 := W(500) ∪ W(498) ∪ W(496) ∪… と定める。
この時、A,B∈W_0 が A⊂B または B⊂A を満たすならば３つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれ、
どちらも満たさなければ２つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれるので、
f の W_0 への制限は単射であることがわかる。…(1)
省6
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