[過去ﾛｸﾞ] Interuniversal geometry とABC 予想59
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136(3): 2025/11/26(水)11:10 ID:OKYvoybi(1) AAS
忘備録。
ハーツホーン、幾何学1
・最後に、公理系は完全であるか
という問題がある。すなわち、
公理系のすべてのモデルで成り立つ命題は「公理系から結果として証明されるか」という問題である。ゲーデルは、相応に豊富な任意の公理系が、完全ではあり得ないことをしめしている。
137(4): 2025/11/27(木)18:27 ID:bnKeMjMJ(1/2) AAS
>>136
続き
「この文章は意味不明である。
それは完全性定理と不完全性定理にでてくる「完全」という言葉を混同したことに起因するのだろう。
完全性定理の「完全」は体系が意味論的に、、成り立つ命題を形式的に証明するのに十分な能力を備えている意味であろう。
「公理系が完全」というのは「公理系から任意の命題が証明可能か、
あるいはその否定命題が証明可能である」が定義であって「すなわち」で始まる文章は「すなわち」になっていない。その後の文章は不完全定理に言及しているが、この種の問題をこういう表面的な理解で語るのは大変危険である。
パガレロフ「幾何学の基礎」は実双曲幾何に関する大変優れた著作であるが、これにも「完全性」という実に奇妙な概念が導入されていて、1階と高階論理が全く区別されていない、基礎論の基礎知識の欠如が数学者の共通の弱点であることがここに露呈している。」
足立恒雄.
よみがえる非ユークリッド幾何
165(1): 2025/12/02(火)11:21 ID:WFOQ6grI(1/12) AAS
>>136
>公理系のすべてのモデルで成り立つ命題は「公理系から結果として証明されるか」という問題である。ゲーデルは、相応に豊富な任意の公理系が、完全ではあり得ないことをしめしている。
完全性定理、不完全性定理を盛大に誤解してて草
224: 2025/12/04(木)23:50 ID:bjoQYnSe(5/5) AAS
>>136->137
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