[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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50(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:24 ID:PmfdHnoP(5/9) AAS
つづき
Complements
ソロヴェイは論文の中で、非可算基数の使用は必ずしも必要ではないかもしれないと示唆した。
複数の研究者が、非可算基数の存在を仮定することなく、ソロヴェイの結果のより弱いバージョンを証明した。特に、クリヴィン（1969）は、すべての順序数定義可能な実数集合が可測となるZFCモデルが存在することを示し、ソロヴェイは、実数のすべての部分集合にルベーグ測度の並進不変拡張が存在するZF + DCモデルが存在することを示し、シェラ（1984）は、すべての実数集合がベール性を持つモデルが存在することを示した（したがって、この場合、非可算基数は実際には不要である）。
完全集合性の問題は、スペッカー（1957）によって解決されました。
彼は（ZFにおいて）すべての実数集合が完全集合性を持ち、最初の非可算基数ℵ 1 が正則基数である場合、ℵ 1 は構成可能宇宙においてアクセス不可能であることを示しました。ソロベイの結果と組み合わせると、「アクセス不可能基数が存在する」という命題と「ℵ 1 は正則基数である + すべての実数集合は完全集合性を持つ」という命題はZFにおいて等価であることが示されます。[ 1 ] p. 371
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)
以上
52(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:38 ID:PmfdHnoP(6/9) AAS
>>48-50 補足
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
省12
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