Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:22:31.31 ID:PmfdHnoP

さて、ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
公理的集合論について、下記のVitali set
と フルパワー選択公理との関係を書いておく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3] In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]

https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
(google訳)
数学の集合論分野において、ソロヴェイモデルはロバート・M・ソロヴェイ （1970 ）によって構築されたモデルであり、選択公理を除くツェルメロ・フランケル集合論（ZF）の公理がすべて成立するが、実数のすべての集合はルベーグ測定可能である。この構築は、到達不可能な基数の存在に依存している。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/48

52: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:38:28.55 ID:PmfdHnoP

>>48-50 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)

纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
　の存在ができる
2）一方
　到達不可能な基数の存在を仮定して、
　フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
　”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
　（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）

かように
採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです　（＾＾
良い子は、これを覚えておこうね　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/52

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/03(月) 09:43:47.71 ID:RGcnI1b5

>>60
(引用開始)
>もし、可算選択公理しか認めないならば
>もっと簡単に、
>”任意の実数の部分集合が 可測である model”
>の存在が証明できるだろう
>（どうやれば良いかは知らないが）
できねぇわ　🐎🦌
なぜ「できない」と断言できるか？
可算選択公理を満たし
実数の部分集合で非可測なものが存在するmodel
が存在するから
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
1）話は真逆だよ
　Solovay model https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
　の示すところは、ZF+従属選択公理+到達不能基数 において
　「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」>>48
　となる モデルの存在が示せるということだね
2）これから導かれることは
　非可測集合を生み出す力は、フルパワー選択公理にあるってことだ
　よって、なんらの選択公理なしの（つまり可算選択公理さえない）
　シンプルZF公理系では
　「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」>>48
　となる モデルの存在が示せるだろう
3）さて、可算選択公理は、可算濃度の集合しか生み出す力が無いことは、自明とする
　このとき、下記 ルベーグ測度 ”可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である”（下記）
　を 思い出そう
　そうすると、可算選択公理が生み出す
　実数Rの部分集合たる 可算濃度の集合のルベーグ測度は必ず 0 になる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ルベーグ測度
例
・可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/62

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