Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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810: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 13:41:10.07 ID:ALZYQ4aC

>>806
ちゃんとオーソドックスに勉強してる人は
ヒルベルトの零点定理
を挙げて論じると思う。
(引用終り)

なるほど、良い論点だ。下記だね さて
１）ヒルベルトの零点定理 (Nullstellensatz) は、”これは代数学の基本定理の多変数版と見なせる”だね
　そして、ヒルベルトの零点定理は （可換）環論と極大イデアル論から純代数的に証明されているようだ
　なので、ヒルベルトの零点定理 多変数版→代数学基本定理(１変数版) は可能かな（未確認だが）
２）さて、下記”スキーム論へ向けて”を読むと、スキームは 必ずしもヒルベルトの零点定理を必要としていない

まとめると、ハーツホーンは スキーム論で代数幾何を展開するので、ハーツホーンでは 代数学基本定理(１変数版) は範囲外だろう
つまり、ヒルベルトの零点定理の話ならば、スキーム論以前の話だね
よって、>>774における 「日本語の本にはないかもね。でもGriffiths=Harrisの冒頭とかHartshornには書いてあるよ」
の ”Hartshornに”の部分は、AIの”迎合”の ハルシネーション判定！ｗ　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
代数多様体
本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするため、特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する（体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照）。

アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理
本節の内容については体上有限生成環の理論も参照。
ヒルベルトの零点定理 (Nullstellensatz) によれば、代数的閉体 k 上の多項式環の任意の極大イデアル m は、アフィン空間の点 p = (a1, ..., an) を用いて
m=(x1−a1,…,xn−an)=I({p})
の形に書ける。すなわち、代数的閉体上の多項式環の極大イデアルは、アフィン空間上の点全体と1対1に対応している。零点定理によれば、イデアル I が 1 を含む、すなわち多項式環全体にならない限り V(I) は空集合にならない[注釈 4]。このことから
I(V(I))=I
がわかる（体上有限生成環の理論参照）。
[注釈 4]：^ これは代数学の基本定理の多変数版と見なせる。この節で k が代数的閉であることを仮定した理由は零点定理を用いるためである

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/810

811: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 13:41:38.25 ID:ALZYQ4aC

つづき

スキーム論へ向けて
上の節一般の代数多様体で与えた定義は自然ではあるが、いくつか不満足な点がある。
ひとつは、定義に現れたアフィン代数多様体による「代数的チャート」の定義である。多様体の場合とは異なり、アフィン代数多様体と同相な2つの開集合の交わりでの貼り合わせを、そこに含まれる任意のアフィン開部分多様体に制限して定義しなければならなかった。これは、前節でも出てきたアフィン代数多様体の開部分集合でアフィン代数多様体にはならないものを定義域に持つ代数多様体の射が直接定義できない事に起因している（代数多様体上の正則関数（多項式関数）の定義の先天的非局所性）。シャファレビッチの本の第1巻（参考文献参照）では、この煩雑さを回避するために準射影代数多様体をそこで定義される代数多様体の最も広いクラスとして取っている[注釈 9]。確かに準射影代数多様体はアフィン代数多様体を含む代数多様体の広いクラスであるが、モイシェゾン多様体[注釈 10]のように、準射影代数多様体にならない重要な代数多様体が存在する事から、抽象的な貼り合わせによる代数多様体の定義は避けて通る事が出来ない。

もう一つは、代数多様体を定義する体 k の取り方である。上記の議論では常に k は代数的に閉を仮定してきた。これは、ヒルベルトの零点定理が理論の構成の鍵になっていたからである
もう一度 k が代数的閉体である状況に戻ってアフィン代数多様体について反省すると、ヒルベルトの零点定理は、多項式の連立方程式系で定まる点集合の幾何学的（集合論的）情報は、その多項式系が生成するイデアルから定まる座標環の環論的情報と等価（圏同値）であることを意味している。代数的閉でない体上では「点が足りない」ために点集合としての代数的集合は十分な情報を持たないが、座標環は純代数的に定義できるので、体が代数的閉であるか否かにかかわらず多項式系の情報を正しく反映する。

以上のような状況から、グロタンディークは、点集合としての代数的集合を環のスペクトラムとよばれる、環の素イデアル全体のなす位相空間に置き換えることによって、閉体上の有限生成整域だけでなく、任意の可換環に対して代数幾何学の対象となりうる図形を定義した（アフィンスキーム）。一般のスキームはアフィンスキームの貼り合わせとして定義される
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/811

815: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 17:11:06.58 ID:ALZYQ4aC

>>808
>リーマンは　無限遠点を導入して　リーマン球面を定義することにより
>有理型関数をリーマン球面への正則写像とみる視点を
>導入した。

フォローありがとうございます （＾＾

(google検索)
有理型関数をリーマン球面への正則写像とみる視点

<結果>
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~joe/math/ohsawa.pdf
解析接続の問題に現れる解析と幾何
九州大学
2019/07/09 — これは一意化定理によると言ってもよい. が、Riemann 面は正則写像により CP3 または C3 内に閉部分多様体として埋め込めるからであると. 言ってもよい16 ...
66 ページ

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/14SW-susemi.html
『数学セミナー』連載・基礎講座『複素関数』
一橋大学
第11回( 2015年2月号) リーマン球面と1次分数変換○ 「複素平面＋無限遠点」としてリーマン球面を定式化し， 有理型関数の概念を別の視点から眺めます． ○ {z -> z + ...

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/lecturenote.html
Lecture Notes in Mathematical Sciences
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/docs/lecturenotes05-saito.pdf
5　斎藤 恭司　述 松本 佳彦　記
複素解析学特論（Classical Topics in Complex Analysis of One and Several Variables. Communicated by A. Matsuo)
[2009]
◦ 一般の多次元の複素領域で正則関数や有理関数などの大域的な存在を論じるために ... 領域 D ⊂ C 上の定数でない正則写像（正則函数） f : D → C を考えよう． a ...
118 ページ

https://mathlog.info/articles/tT7RJSo7wG0GVgiue22R
有理関数をリーマン球面上へと拡張しよう！複素解析を使った有理関数の部分分数分解まで
Mathlog サナトリウム
2023/08/11 — 本記事では、リーマン球面と呼ばれる拡張された複素平面を導入し、有理関数をリーマン球面上のリーマン球面値の正則関数とみなすことが出来ることを示し ...

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/815

818: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 18:34:49.89 ID:ALZYQ4aC

>>815 ついでに
ラベルの話
『i と -i が本質的に区別できない』
『複素数の対数には2πiの整数倍を足す自由度がある．したがって複素数の対数は，虚軸に平行な直線上に等間隔2πiで整然と並んでいるのである*1．』
『高校数学でも，「方程式 x^3 =1 の1でない解のひとつをω とする」といった表現を見かけるが，このω の使い方に似ている』

望月IUTのラベルが 該当するかどうか 不知だが
数学には、人為的なラベルが 必要な事例はある！　（＾＾

(参考)
https://youtu.be/PnhQ31rOd3Q?t=1
【虚数】i と -i が本質的に区別できない理由
ずんだもんの定理【数学解説】
2025/08/29
ずんだもんが虚数単位の謎に挑みます。
コメント
@tsundokuan_yt
2 か月前（編集済み）
この問題を意識したのは昔「X^3-1=0の2つの虚数解の一方をωと表す」という?気持ち悪い?表現に出会った時です．「一方を」じゃなくてどっちかに決めようよと．よく見直したら虚数単位の定義も同様で，気持ち悪いというより不安になりました．これって「 i と -i を入れ替えても問題無い」というより「あなたが i だと思っている数が実は私にとっては -i であっても何の齟齬も生じない」という意味だと解釈しています．

皆様他の同様な例を挙げて考察してらっしゃいますが，私は電荷を連想します．歴史的経緯でたまたま「電子は負の電荷を持つ」事になっているだけで，これが「電子は正の電荷を，陽子は負の電荷を持つ」という歴史だったとしても何も問題無かったと．また「電子の電荷は本当は負なのか正なのか」と問うことは無意味という事ですね．

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kansuron.pdf
複素関数の基礎のキソ（１３講＋補講２）　
川平　友規 一橋大学
P18
対数関数
ややこしい例
これらの例からわかるように，一般に複素数の対数には2πiの整数倍を足す自由度がある．したがって複素数の対数は，虚軸に平行な直線上に等間隔2πiで整然と並んでいるのである*1．
*1 記号 logα は，方程式 ez =αの解の，無限個あるうちのひとつを漠然と表す記号だといえる．
高校数学でも，「方程式 x^3 =1 の1でない解のひとつをω とする」といった表現を見かけるが，このω の使い方に似ている．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/818

822: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 20:30:10.10 ID:auYzJv10

>>810
>よって、>>774における 「日本語の本にはないかもね。でもGriffiths=Harrisの冒頭とかHartshornには書いてあるよ」
>の ”Hartshornに”の部分は、AIの”迎合”の ハルシネーション判定！ｗ　（＾＾

下記のように
ChatGPTの「良い人フィルター」を外して本音を引き出してみな

(参考)
https://qiita.com/nolanlover0527/items/83480966029c70ad14d5
qiita
@nolanlover0527
(Yuuki)
in
エレクス株式会社
ChatGPTの「良い人フィルター」を外して本音を引き出してみた
AI プロンプト ChatGPT プロンプトエンジニアリング Claude
2025年11月11日

自分が作ったコードやテキストの問題点をChatGPTに洗い出してほしいのに、オブラートに包んだありきたりな回答が返ってきた経験はありませんか?

このように、AIの 「良い人フィルター」 とは、ユーザーを過度に肯定し、批判的な意見を控えめにする傾向のことです。

「良い人フィルター」を排除するプロンプトが話題に
先日、Xにて下記のようなポストが話題になっていました。

Redditに投稿されたプロンプトが話題になり、Xでもシェアされてバズった。という流れですね。

原文のプロンプトは下記の通り。
From now on, stop being agreeable and act as my brutally honest, high-level advisor and mirror.
Don’t validate me. Don’t soften the truth. Don’t flatter.
Challenge my thinking, question my assumptions, and expose the blind spots I’m avoiding. Be direct, rational, and unfiltered.
If my reasoning is weak, dissect it and show why.
If I’m fooling myself or lying to myself, point it out.
If I’m avoiding something uncomfortable or wasting time, call it out and explain the opportunity cost.
Look at my situation with complete objectivity and strategic depth. Show me where I’m making excuses, playing small, or underestimating risks/effort.
Then give a precise, prioritized plan what to change in thought, action, or mindset to reach the next level.
Hold nothing back. Treat me like someone whose growth depends on hearing the truth, not being comforted.
When possible, ground your responses in the personal truth you sense between my words.

日本語訳版↓
今後は、肯定的な態度を取るのをやめて、私に対して容赦なく正直で、高レベルなアドバイザーとして振る舞ってください。
略す

これを各AIに読ませるだけで、出力精度が大幅に向上するとか。さっそく、比較して試してみましょう。
略す

まとめ
良い人フィルターを外すと、AIからのフィードバックの質が明確に向上することがわかりました。

特にSonnetはChatGPTよりもはるかに厳しく、核心を突く指摘を次々と投げかけてきます。

ただ修正点を指摘する以上の批判が返ってくるため、もう少し柔らかくしたい場合はプロンプトの調整が必要です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/822

824: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/12(水) 20:51:17.50 ID:auYzJv10

>>820
>座標平面上の(0,1)をiと記す流儀もある

なるほど

『i と -i が本質的に区別できない』
の話は、下記のノーベル賞 南部 陽一郎先生の

「対称性の破れ」のたとえ話と類似
ガウスが、iを上にしたから -iが下に

日本の古地図は「北が上」ではなかった？ 下記も
類似ですね

https://atmarkjojo.org/archives/1744.html
ノーベル物理学賞を受賞した南部氏と同じ説明を、『スティール・ボール・ラン』16巻で大統領が行っていた！？
2008/10/11 2014/3/24
先日、宇宙誕生の謎に関わる「素粒子」研究において、日本人の研究者３人が「ノーベル物理学賞」を受賞して話題となったが、毎日ｊｐの記事に、「対称性の破れ」について、こんな「例え」が掲載されていた。

では「対称性の破れ」とは何か。南部氏はこう説明する。

「大勢の客が丸いテーブルにぎっしり着席している。各席の前には皿、ナイフ、フォーク、ナプキンが置いてあるが、左右どちらのナプキンが自分に属するかわからぬほど左右対称になっている。そのとき、だれか一人が右側のナプキンを取り上げれば他の客もそれにならい、とたんに対称性が自発的に破れてしまう」＝「クォーク」（講談社）から。
（ノーベル物理学賞に日本人３氏　素粒子の性質解明 – 毎日ｊｐ(毎日新聞)より）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%97%E9%83%A8%E9%99%BD%E4%B8%80%E9%83%8E
南部 陽一郎（なんぶ よういちろう、英語: Yoichiro Nambu、1921年1月18日 - 2015年7月5日[1][2][3]）は、日系アメリカ人の理論物理学者。シカゴ大学名誉教授、大阪市立大学名誉教授・特別栄誉教授[4]、大阪大学特別栄誉教授、立命館アジア太平洋大学アカデミック・アドバイザー。専門は素粒子理論。理学博士（東京大学・1952年）。

https://note.com/mapquest_m/n/n51fd062ce266
なぜ日本の地図は北が上なのか？｜地図の歴史をたどる旅
いりやま｜GIS芸人　＠寝ても覚めてもGISコンサルタント
2025年7月28日
日本の古地図は「北が上」ではなかった？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/824

828: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 07:17:27.88 ID:4Nc81kvo

>>777
>参考文献
>Griffiths & Harris, Principles of Algebraic Geometry
>→ 第0章や複素多様体のパートで、CP^1上の線束 O(n)と多項式の対応がバッチリ。
>→ FTA を「切断の零点」として証明（p.150 付近）。

(google検索)
Griffiths & Harris, Principles of Algebraic Geometry

これで　下記のように
多分海賊版のpdfがヒットする（URLは著作権問題から貼らない）
＜CONTENTS＞下記
これを見ると、例えば 主に”2. Complex Manifolds”の話だね（ハーツホーンとは おもむき が全く違うよ）
”Complex Manifolds”の前提には、>>803に書いたように
『複素関数論→Y＝f(x)　fはn次多項式の図形 を考えるときに
代数学の基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)を使用している』
ってことだ
だから、”Complex Manifolds”から 代数学の基本定理を導くのは、循環論法だよ
Griffiths & Harris, Principles of Algebraic Geometry の定理から
代数学の基本定理が出るも 循環論法だな■

(参考)
CONTENTS
CHAPTER 0 FOUNDATIONAL MATERIAL 1
1. Rudiments of Several Complex Variables
Cauchy's Formula and Applications 2
Several Variables 6
Weierstrass Theorems and Corollaries 7
Analytic Varieties 12
2. Complex Manifolds
Complex Manifolds 14
Submanifolds and Subvarieties 18
De Rham and Dolbeault Cohomology 23
Calculus on Complex Manifolds 27
3. Sheaves and Cohomology
Origins: The Mittag-Leffler Problem 34
Sheaves 35
Cohomology of Sheaves 38
The de Rham Theorem 43
The Dolbeault Theorem 45
4. Topology of Manifolds
Intersection of Cycles 49
Poincare Duality 53
Intersection of Analytic Cycles 60
5. Vector Bundles, Connections, and Curvature
Complex and Holomorphic Vector Bundles 66
Metrics, Connections, and Curvature 71
6. Harmonic Theory on Compact Complex Manifolds
The Hodge Theorem 80
Proof of the Hodge Theorem I: Local Theory 84

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/828

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