Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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374: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/06(木) 16:14:49.42 ID:9MLt2+C6

>>370
>>だが、高木先生は 数学研究は 演繹より帰納だと言った
>どういう意味で演繹・帰納という語を使ってる？

演繹は、多分書かれた教科書を学ぶこと だろう
帰納は、高木先生の「近世数学史談」にある
下記のガウス青年の逸話（算術幾何平均M の数値計算から 楕円関数へ至る）だろう

(google検索)
ガウス 楕円関数の発見 算術幾何平均Mの値計算
AI による概要
ガウスは、算術幾何平均 (AGM: Arithmetic Geometric Mean) \(M(a,b)\) と楕円積分の間に驚くべき関係を発見しました。 ガウスによる発見 ガウスは若いうちから算術幾何平均に興味を持ち、特定の数のペアについてその値を計算していました。そして、この算術幾何平均の値が、特定の第一種完全楕円積分の値と一致することを発見しました。 具体的には、2つの正の数 \(a,b\) の算術幾何平均 \(M(a,b)\) は、以下の楕円積分と等しいという関係です。
略す
この発見は、楕円関数論や超幾何関数の研究への重要な礎となりました。

https://mathlog.info/articles/1854
DIO
書カレナカツタ楕圓函數論
ガウスは幼少のときから『算術幾何平均』に興味を有して、多くの特別の数に関してその計算をしている。算術幾何平均（以下agMと略記する）の意味は次の通りである。
ガウスは1799年（『日記』五月三十日）に1と√2とのagMがπ/2ω
と小数第十一位まで一致することを発見した。
ωは『レムニスケート』関数の周期である、即ち、
略
若しも実際M(1,√2)=π/2ω
なることが証明されるならば『確実に解析の新分野が開かれるであろう』と考えたガウスはそれからagMの理論の研究を始めて遂に1800年五月に至て一般楕円函数を発見し、六月にはmodular functionを発見した、少なくともその端緒を確実に把握するに至ったのである。ガウスはこれらの発見に関して生前に発表する所なくして終わった。唯々楕円環の引力に関する論文（２頁）の中にagMの理論の一端を洩らしているのみである。遺稿の中にはこの所謂『新関数』に関するものが数多くあるが、いずれも断片で終わっている。1808年九月一七日付でガウスがSchumacherに与えた書簡中に次のような一節がある。
『・・・円関数と対数関数を吾々は今掛算の九九の如くに自由自在に取扱うているが、高等なる関数の内部に蔵せられる黄金坑は殆ど未知の世界である。予は曾てこれらの関数に関して多くの仕事を為したが、其の内にそれを大きな単行本にまとめようと思うている。それについては既に予のDisq.arith.593頁に暗示して置いた次第である。それらの関数（その中には楕円や双曲線の求長問題に関係を有するものもあるが）に関する最も興味ある真理又は関係の溢るる如き豊富は唯驚嘆の他はないのである・・・』
（これは当時未見の人Schumacherから始めての書簡に対する返事である。彼は同年十月からガウスに就いて天文学を学んだ）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/374

376: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/06(木) 16:26:42.33 ID:9MLt2+C6

>>374 追加

https://blog.goo.ne.jp/sendatakayuki0123456789/e/8d73d142cec0ff31955342b5756afa42
ブログ　「ごまめの歯軋り」
読書ノート　高木貞治著　　「近世数学史談」　岩波文庫
2016年08月01日 | 書評
１）　近世数学の誕生　ガウス （その２）
ガウスが書き遺した学術文書は、ゲッチンゲン大学にある。ガウスが中学生時代から大学卒業時までライステの「算術教科書」への書き込みとメモ紙の挿入を始め、「ガウス日記」は1796年から1813年までのメモ小冊子である。
アーベル、ヤコービに先立つこと30年前にガウスは楕円関数を発見していた。またデデキントに先立つこと50年前にガウスはモジュラー関数を発見していた。ガウス文書は完成される過程の「研究の足場」を見ることができる。足場は完成されれば取り払われるが、どういうプロセスで発見に至ったかという発見の秘密を見ることができるのである。

1979年ガウスは積分の逆関数からスタートした。ガウスはx=sinlemn (u)=coslemn(ω-u)をs(u),c(u)と表して、級数展開し、級数の逆展開はラグランジェから学んで　ω=∫(1/√(1-p^4))dp=(π/4)(2/∫√sin xdx)=1.31110…を得ている。ガウスは円周等分の拡張としてレム二スケートの等分（σ型関数）を考えていたようである。s(u),c(u)を複素変数の関数とすると、s(5u)は25時の方程式で5つの実根と20の虚根を有する。アーベルの楕円関数の発見もここに端緒があった。すなわち関数論の芽生えとなった。しかしガウスの時代には関数論はなかったので計算には大変苦労したと思われる。しかしガウスの得た結果は皆正しかった。1798年7月ガウスはθ型レム二スケート関数も発見した。無限級数の計算に超人的な計算能力と記憶力を発揮し、得られた結果は現在の関数論から照らしても全部正しい結果であった。

ガウスは1799年、M(1,√2)がπ/2ωに小数第11位まで一致することを発見した。ωはレム二スケート関数の周期である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/376

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