[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/

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237: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/04(火) 20:59:22.22 ID:9vx0mQPF >>234 その池上先生の記事も読み間違って意味取れてないんだよ落ちこぼれ どこまで能無しやねん役立たずwww お前何ができるんやゴミwww http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/237

238: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/04(火) 21:05:56.64 ID:9vx0mQPF そもそもFLTの証明にGalos表現上のFunctor Categoryまで使われてたとしても(そこまですら使われてないが)当然ℂGal(ℚ̅/ℚ)-module がskeletally smallだからuniverseなんぞ持ち出すまでもないわ なんもわからんくせに知ったかすんなゴミ お前の持ってる数学上の知識で俺に勝てるもんなんか何一つないわゴミ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/238

239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/04(火) 21:26:03.89 ID:yzUd5nV9 >>233 前スレの連投も含めて 運営に 君のアク禁依頼を出したので 首を洗って待て http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/239

240: １３２人目の素数さん [] 2025/11/04(火) 21:52:04.27 ID:F7ByEl9r >>239 　　　　　　　　　　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　　.／, - ､, - ､　　￣ ヽ 　　　　　　　　　　./-┤　｡|｡　 |――-､　ヽ 　　　　　　 　 　　|　ヽ｀- ○- ´ ／　　ヽ　 | 　　　　　　 　 　　|　-　　 |　 　 　―　　 |　 | 　　　　　　 　 　　|　 ´　　|　 　　｀ヽ　 .　|　 |ヽ 　　∩　　　　　　人｀､ _ 　|　 　　＿.- ´ |　.|　　＼ 　　|　　⌒ヽ　／　 ＼　￣￣￣　 　　 ノノ 　 　 　 ＼ 　　|　 　 　 |´　 　 　　|￣―--―― ´ヽ 　 　 ＿　　／⌒＼ 　　＼_ 　 _/-―――.|　（ Ｔ ）　　　　　　｀l 　 　 Τ（　 　 　 ） 　 　 　 ￣　　　　　　 |　　￣　　　　　　 　}　 　 　 |　＼＿／ 　　　　　　　　　　　　 | ､--―　￣|　 　　/ ＦＵＣＫ　ＹＯＵ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/240

241: Генеалогія сучаснай [] 2025/11/04(火) 22:04:08.33 ID:5VZBp+29 Я прасіў забараніць доступ адміністратара, у тым ліку ў некалькіх паведамленнях у папярэдняй тэме, таму, калі ласка, набярыцеся цярпення. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/241

242: １３２人目の素数さん [] 2025/11/04(火) 22:06:59.35 ID:54iK+QXE >>234 >もう何回目だろうか？ 5回目くらいかな >その間 君みたいなアホな 突っ込みは無かったなｗ ツッコミがない＝間違っていない ですか？ 公理を削除する＝公理の否定 みたいな誤解ですよそれ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/242

243: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/04(火) 22:18:08.99 ID:yzUd5nV9 >>235-238 ふっふ、ほっほ 一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り） 不勉強、言い訳だけは、いちょまえ オチコボレ、言い訳だけは、一流だ （追加） >つまり彼は「現状では グロタンディーク宇宙は必要」とは書いておらず 数学セミナー 　2025年3月号 池上大祐 を、書棚の肥やしの中から引っ張り出してきた　（＾＾ 池上大祐の書いている趣旨は 1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した 　代数幾何の理論（圏論）が使われていた 2）彼は、文献[3]を挙げて 　『代数幾何の基礎理論についての基本文献（の一部）であるSGAで行われている議論は、（可算ではないグロタンディーク宇宙の存在を仮定せずに）ZFCあるいはそれよりも弱い集合論の公理系で展開できる』 　とColin McLartyは 主張していると説く 3）しかし、池上大祐氏は 彼自身は フェルマーの最終定理の証明を精査する知識がないので「わかりません」が私の回答だという （文献[3]：Colin McLarty,The Large structures of Grothendiek founded on finite-order arithmetic. Rev.Symb.Log.13(2020)no.2,296-325） さて、まとめると ・ワイルズのフェルマーの最終定理は、グロタンディーク宇宙を仮定していて 　SGAなどの代数幾何の理論が使われている （だが、SGAが全てではない） ・文献[3]の主張が正しいと仮定して、SGAの全てが グロタンディーク宇宙の仮定なしで言えたとしても 　では、ワイルズの証明のSGA以外の部分がどうなるのか？ それは 文献[3]の射程がどこまでかだ ・池上大祐氏の回答 ：（2025年3月号時点において）「わからない」は、いまだ有効だってことだ■ （ワイルズの証明は グロタンディーク宇宙の仮定ありで SGA以外の部分も含んでいるのだから） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/243

244: １３２人目の素数さん [] 2025/11/04(火) 22:44:19.64 ID:54iK+QXE >>243 その通り 彼は「分からない」としています >1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した >　代数幾何の理論（圏論）が使われていた 正確には 「グロタンディークが展開した代数幾何の基礎理論（スキーム論ですかね）を用いるため、宇宙の公理、とくに、可算でないグロタンディーク宇宙の存在を仮定していることになります」 ですが スキームを使う上でグロタンディーク宇宙が必要ということではないのでは？ あれば対象を集合に「制限して」集合論的な困難を回避できるかも知れませんが なくてもそれは回避できるとのことですよ グロタンディークがグロタン宇宙を前提にスキーム論を展開した ことを スキーム論にはグロタン宇宙が必要 と誤解していますね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/244

245: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/04(火) 23:22:58.53 ID:yzUd5nV9 >>243 補足 検索してみると (google検索)： Colin McLarty,The Large structures of Grothendiek founded on finite-order arithmetic. Rev.Symb.Log で、結果は下記 ＜検索結果＞ The large structures of Grothendieck founded on finite ... arXiv https://arxiv.org › math このページを訳す C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — We formalize the practical insight by founding the theorems of EGA and SGA, plus derived categories, at the level of finite order arithmetic. 含まれない: Rev. ‎Symbol. the large structures of grothendieck founded on finite order ... ResearchGate https://www.researchgate.net › 277... このページを訳す 2025/08/09 — Abstract. THE LARGE STRUCTURES OF GROTHENDIECK FOUNDED ON FINITE ORDER ARITHMETIC - COLIN MCLARTY. ResearchGate Logo ... large structure ... Colin Mclarty, The large structures of grothendieck founded ... PhilPapers https://philpapers.org › MCLTLS このページを訳す C Mclarty 著 · 2020 · 被引用数: 14 — We reduce the gap by founding all the theorems of Grothendieck's SGA, plus derived categories, at the level of Finite-Order Arithmetic, far below ZFC. This is ... 含まれない: Symbol. ‎| 必須にする: Symbol. the large structures of grothendieck founded on finite-order ... Semantic Scholar https://www.semanticscholar.org › ... このページを訳す Abstract The large-structure tools of cohomology including toposes and derived categories stay close to arithmetic in practice, yet published foundations ... 含まれない: Rev. ‎Symbol. Reverse mathematics of (co)homology? MathOverflow https://mathoverflow.net › questions このページを訳す 2010/01/17 — @hm2020: One was published as McLarty, Colin, The large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic. Rev. Symb. Log. 13 ... 回答 3 件 ベストアンサー: I don't have Hartshorne, so I can't address the specifics of this case. However, there is ... つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/245

246: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/04(火) 23:23:17.67 ID:yzUd5nV9 つづき arXiv:1102.1773v4 [math.LO] 30 Apr 2014 arXiv https://arxiv.org › pdf PDF C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — This paper removes the objection by proving the large structure theorems at the logical level of finite order arithmetic. Finite order ... 含まれない: Symbol. ‎Logo The Review of Symbolic Logic: Volume 13 Cambridge University Press & Assessment https://www.cambridge.org › journals このページを訳す ASL Core logo black. Published on behalf of Association of Symbolic ... THE LARGE STRUCTURES OF GROTHENDIECK FOUNDED ON FINITE-ORDER ARITHMETIC · COLIN MCLARTY. A Finite Order Arithmetic Foundation for Cohomology Case Western Reserve University https://artscimedia.case.edu › Derived_functor PDF C MCLARTY 著 · 被引用数: 7 — Grothendieck pre-empted many set theoretic issues in cohomology by positing a universe: “a set 'large enough' that the habitual operations of set theory do. 含まれない: founded ‎Symbol. ‎Logo How strong a set theory is necessary for practical purposes ... MathOverflow https://mathoverflow.net › questions このページを訳す 2020/05/14 — Colin McLarty has looked into this. The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 ... 回答 1 件 ベストアンサー: Colin McLarty has looked into this The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) ... つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/246

247: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/04(火) 23:24:03.26 ID:yzUd5nV9 つづき （追加） https://mathoverflow.net/questions/360290/how-strong-a-set-theory-is-necessary-for-practical-purposes-in-sheaf-theory How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory? asked May 14, 2020 at 0:09 user158035 1 Thank you David. This paper of McLarty's is really remarkable, and seems to be what I asked for, and then much more as well. – user158035 CommentedMay 14, 2020 at 15:24 does that mean the Fermat's last theorem can be proved in MacLane set theory (i.e. bounded Zermelo)? – Zuhair Al-Johar CommentedMay 14, 2020 at 18:38 @Zuhair absolutely, and weaker foundations; this was the motivation for the paper. – David Roberts ♦ CommentedMay 14, 2020 at 20:45 (google訳) 1 デイビッドさん、ありがとうございます。マクラーティさんのこの論文は本当に素晴らしいです。私が求めていた通りの内容で、それ以上のものでした。 ユーザー158035 コメントした2020年5月14日 15時24分 それはフェルマーの最終定理がマクレーン集合論（つまり有界ツェルメロ）で証明できることを意味しますか？ Zuhair Al-Johar コメントした2020年5月14日 18時38分 @Zuhair まさにその通りです。そして基礎が弱いのです。これがこの論文の動機でした。 デビッド・ロバーツ ♦ コメントした2020年5月14日 20時45分 (引用終り) こんなところに、デビッド・ロバーツが それはフェルマーの最終定理がマクレーン集合論（つまり有界ツェルメロ）で証明できることを意味しますか？ @Zuhair まさにその通りです。そして基礎が弱いのです。これがこの論文の動機でした。 か・・・ 果たして・・・ （＾＾ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/247

248: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/05(水) 00:18:46.38 ID:y45LWemW >>243 お前にまとめられるわけないやろカス 俺の書いてる話1ミリもわからんくせに何いうとんじゃ能無し fltの証明にグロータンディックのユニバースなんぞ1ミリも使われとらんわ その記事にある意味はグロータンディックユニバース使えばちょっと細かい議論を回避できん事もない程度の意味しかないわカス お前にfltの証明レベルの話が理解できるわけないやろゴミ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/248

249: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 10:13:36.31 ID:K/Lr81ky >>245 追加 (google検索)： Colin McLarty,The Large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic. Rev.Symbol.Logo ＜AI による概要＞ Colin McLarty's paper, "The Large Structures of Grothendieck Founded on Finite-Order Arithmetic," published in the Review of Symbolic Logic in 2020, argues that the complex tools of Grothendieck-style algebraic geometry, such as toposes and derived categories, can be founded on the much weaker system of finite-order arithmetic, rather than the stronger ZFC set theory typically used for such foundations. This research aims to close the foundational gap by showing that these powerful "large structure" tools only require a significantly weaker logical strength to be established, with one specific topos of sets already requiring this level of strength. ・Core argument: McLarty demonstrates that the theorems of Grothendieck's Éléments de géométrie algébrique (EGA) and Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA), along with derived categories, can be formally grounded using finite-order arithmetic. ・Weakest possible foundation: The paper establishes that finite-order arithmetic is the weakest possible foundation for these tools because even a single elementary topos of sets with infinity is already this strong. ・Implication for set theory: This finding implies that one does not need the full strength of ZFC, which is stronger than finite-order arithmetic, to prove the consistency of these large structures. The work shows that their foundations can be established with axioms that have the same proof-theoretic strength as finite-order arithmetic, which Zermelo set theory (Z) proves is consistent. ・Practical insight: The work formalizes the practical insight that tools of cohomology, while theoretically requiring large structures, often stay close to arithmetic in their actual application. ・Publication details: The paper was published in the Review of Symbolic Logic (Volume 13, Issue 2, 2020), with the doi: 10.1017/s1755020319000340 and can be found on arXiv as paper 1102.1773. （AI の回答には間違いが含まれている場合があります） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/249

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 10:13:53.81 ID:K/Lr81ky つづき （追加）>>247より https://mathoverflow.net/questions/360290/how-strong-a-set-theory-is-necessary-for-practical-purposes-in-sheaf-theory How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory? asked May 14, 2020 user158035 Is it known how much of ZFC is actually necessary for the basic, familiar constructions and theorems in sheaf theory, along the lines of section II.1 (and its exercises) in Hartshorne's "Algebraic Geometry" textbook? 1 Answer Colin McLarty has looked into this The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, https://arxiv.org/abs/1102.1773 with abstract (emphasis added): The large-structure tools of cohomology including toposes and derived categories stay close to arithmetic in practice, yet published foundations for them go beyond ZFC in logical strength. We reduce the gap by founding all the theorems of Grothendieck’s SGA, plus derived categories, at the level of Finite-Order Arithmetic, far below ZFC. This is the weakest possible foundation for the large-structure tools because one elementary topos of sets with infinity is already this strong. answered May 14, 2020 David Roberts♦ (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/250

251: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 10:22:12.78 ID:K/Lr81ky >>249 追加 (google訳)（一部手直し） ＜AI による概要＞ コリン・マクラーティの論文「有限階算術に基づくグロタンディークの大規模構造」は、2020年の記号論理学のレビュー、グロタンディークスタイルの代数幾何学の複雑なツール、例えばトポスや導来カテゴリなどは、そのような基礎付けに通常使用される強力なZFC集合論ではなく、はるかに弱い有限階算術体系の上に成り立つと主張している。この研究は、これらの強力な「大規模構造」ツールが確立されるには、はるかに弱い論理的強度しか必要とせず、特定の集合のトポスがすでにこのレベルの強度を必要としていることを示すことで、基礎的なギャップを埋めることを目指しています。 ・中心的な議論:マクラーティは、グロタンディークの幾何学計算手法( EGA ) とボワマリー関数セミネール( SGA ) の定理が、derived categoriesとともに、有限階数の算術を使用して形式的に根拠づけられることを示しています。 ・最も弱い基盤:この論文では、無限集合の単一の基本トポスでもすでにこのくらい強力であるため、有限階数算術はこれらのツールにとって最も弱い基盤であるとしています。 ・集合論への示唆：この発見は、これらの大規模構造の無矛盾性を証明するために、有限階数算術よりも強いZFCの完全な強さを必要としないことを意味する。本研究は、有限階数算術と同等の証明論的強さを持つ公理によってこれらの構造の基礎を確立できることを示しており、有限階数算術はツェルメロ集合論（Z）によって無矛盾性が証明されている。 ・実践的な洞察:この研究は、コホモロジーのツールは理論的には大規模な構造を必要とするものの、実際の応用では算術に近いことが多いという実践的な洞察を形式化しています。 ・出版の詳細：この論文はReview of Symbolic Logic（第13巻、第2号、2020年）にdoi：10.1017/s1755020319000340で出版され、arXivでは論文1102.1773として見つけることができます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/251

252: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 11:01:07.52 ID:K/Lr81ky >>249 追加 >Founded on Finite-Order Arithmetic 日本語では 有限階算術（あるいは高階算術か） とでもいうのか？ Second-order arithmetic、2階算術は 日本語であるようですが ”Finite-Order Arithmetic”は、不勉強で初耳です 英語検索でも、”Finite-Order Arithmetic”は あまりヒットしないす ；ｐ） でも、私は 高階論者でして 「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています　（＾＾ そういう意味で、 (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_arithmetic Second-order arithmetic In mathematical logic, second-order arithmetic is a collection of axiomatic systems that formalize the natural numbers and their subsets. It is an alternative to axiomatic set theory as a foundation for much, but not all, of mathematics. A precursor to second-order arithmetic that involves third-order parameters was introduced by David Hilbert and Paul Bernays in their book Grundlagen der Mathematik.[1] The standard axiomatization of second-order arithmetic is denoted by Z2. Second-order arithmetic includes, but is significantly stronger than, its first-order counterpart Peano arithmetic. Unlike Peano arithmetic, second-order arithmetic allows quantification over sets of natural numbers as well as numbers themselves. Because real numbers can be represented as (infinite) sets of natural numbers in well-known ways, and because second-order arithmetic allows quantification over such sets, it is possible to formalize the real numbers in second-order arithmetic. For this reason, second-order arithmetic is sometimes called "analysis".[2] https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E7%AE%97%E8%A1%93 巨大数研究 Wiki 二階算術 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6 逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析学の結果を反映している。 逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/252

253: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 11:15:26.89 ID:K/Lr81ky >>252 補足 用語について ・高階算術 ・finite order arithmetic ・Higher-order logic ・Higher order arithmetic by Colin McLarty自身 2014 mathoverflow (参考) http://www.aichi-gakuin.ac.jp/~yamasita/slides/wakate_izawa.pdf 高階算術における抽象論 井澤　昇平 東北大学理学研究科数学専攻 数学基礎論若手の会’１０ Contents. 1 Introduction. 2 Definition of axioms of finite order arithmetic. 検索＜higher order arithmetic＞ https://arxiv.org/abs/2308.15288 [Submitted on 29 Aug 2023] Conservativity of Type Theory over Higher-order Arithmetic Benno van den Berg, Daniël Otten https://en.wikipedia.org/wiki/Higher-order_logic Higher-order logic In mathematics and logic, a higher-order logic (abbreviated HOL) is a form of logic that is distinguished from first-order logic by additional quantifiers and, sometimes, stronger semantics. Higher-order logics with their standard semantics are more expressive, but their model-theoretic properties are less well-behaved than those of first-order logic. The term "higher-order logic" is commonly used to mean higher-order simple predicate logic. Here "simple" indicates that the underlying type theory is the theory of simple types, also called the simple theory of types. Leon Chwistek and Frank P. Ramsey proposed this as a simplification of ramified theory of types specified in the Principia Mathematica by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell. Simple types is sometimes also meant to exclude polymorphic and dependent types.[1] https://mathoverflow.net/questions/190477/higher-order-arithmetic-and-fragments-of-zfc Higher order arithmetic and fragments of ZFC Zbierski "Models for Higher Order Arithmetics" (BULL. DE L'ACAD. POLONAISE DES SCIENCES Serie des sciences math., astr. et phys. - Vol. XIX, No. 7, 1971) defines ZFn as ZFC with the power set axiom limited to n successive power sets starting from the natural numbers N . Note this includes the axiom of choice. He proves ZFn is a conservative extension of n+2 order arithmetic with the axiom scheme of choice.. He notes Gandy had proved already ZF2 is not conservative over 4 th order arithmetic without the axiom scheme of choice. But what is known about the case where the axiom of choice is also removed from ZF2 ? Sochor "Constructibility in higher order arithmetics" (Arch. Math. Logic (1993) 32:381-389) shows that n -th order arithmetic without choice can interpret n -th order arithmetic with choice.though obviously it is not a conservative extension. So the issue is not equiconsistency. It is conservativity. asked Dec 11, 2014 at 13:57 Colin McLarty http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/253

254: １３２人目の素数さん [] 2025/11/05(水) 11:38:01.72 ID:Z1J+lKlF >>243 カラスの世田は、数セミの記事すら、まともに読解できない（笑） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 数学セミナー　2025年3月 集合論の雑学　無限についてのおはなし　池上大輔 連載　第12回 フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？ グロタンディーク宇宙と到達不可能基数 １．イントロダクション 学部生時代に後輩が院生の先輩にした質問 「フェルマーの最終定理の証明に 　グロタンディーク宇宙の存在を仮定するらしい 　グロタンディーク宇宙の存在って 　ZFCから導けないと聞いた 　フェルマーの最終定理ってZFCの下で証明できるの？」 先輩の回答 「基礎論やってる池上君に聞けよ」 著者（池上氏）の答え 「わからない・・・」 ２．おはなしの前に 質問の答えがＹｅｓかＮｏか考えるには グロタンディーク宇宙の存在を仮定せずに フェルマーの最終定理を証明できるかどうか 考える必要があるが フェルマーの最終定理を精査するだけの 代数学の知識が私にはないので答えられない ちなみに フェルマーの最終定理が ZFCの下で証明できれば ZFの下でも証明できる （第８回にて紹介　 　ゲーデルの構成可能宇宙Ｌを用いて 　ZFCでの証明をZFでの証明に書き換えられるため） （つづく） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/254

255: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/05(水) 11:39:46.99 ID:K/Lr81ky >>250 >Colin McLarty has looked into this >The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, arxiv.org/abs/1102.1773 これ、リンクのarxivは 2014年版だな 30 Apr 2014 COLIN MCLARTY 1. Outline Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II), or simple type theory with infinity, is n-th order arithmetic for all finite n. It deals with numbers, sets of numbers, and sets of those, up through any fixed finite level. Sections 2– 3 develop basic cohomology in any one of several set theories equivalent to this. Sections 4–5 give a weak notion of a universe U, and a simpler notion of Ucategory than Grothendieck’s (SGA 4 I.1.2), in a theory of classes and collections conservative over set theory. Section 6 proves standard theorems on toposes, derived categories, and fibered categories. This is the weakest possible level for Grothendieck’s tools since a single elementary topos of sets with infinity is already as strong as finite order arithmetic. Section 7 relates this to proofs of Fermat’s Last Theorem. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/255

256: １３２人目の素数さん [] 2025/11/05(水) 11:40:06.99 ID:Z1J+lKlF >>254のつづき （ここが記事の本論） ６．グロタンディーク宇宙の存在と選択公理の違い （ａ）フェルマーの最終定理が数学的構造（Ｚ、+、×、０，１）において ∀や∃の範囲を整数全体Ｚに制限することで得られる論理式（一階算術の論理式） で表現できる （ｂ）一階算術の論理式の真偽がゲーデルの構成可能宇宙Ｌと集合全体Ｖで変わらない ↓ フェルマーの最終定理がZFCの下で証明可能ならばZFの下でも可能 一方、 （ｃ）ZFCからCon(ZFC)は証明できないが グロタンディーク宇宙の存在からZFCの無矛盾性Con(ZFC)が証明可能 ↓ グロタンディーク宇宙の存在を仮定すると、 証明できる一階算術の論理式が真に増えている ↓ グロタンディーク宇宙の存在を仮定した上での証明が グロタンディーク宇宙の存在を仮定しない場合の証明に 書き換えられるとはいえない さらに 現在知られている集合論の手法（※）では ZFCのモデルMから、新しいZFCのモデルNを構成して MとNの間で一階算術の命題の真偽を変えることはできない ↓ もしリーマン予想がZFCの下で証明も反証もできないとして そのことを現在の集合論の手法で検証することはできない ※　強制法のことか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/256

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