Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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852: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 11:12:48.42 ID:QECWbxG/

>>849
>リーマン・ロッホとヒルツェブルフによる一般化には多少興味あるが（もっこり）

ご苦労様です　（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
リーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホのていり、英: Riemann–Roch theorem）とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。
まず、ベルンハルト・リーマンがRiemann (1857)でリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。

リーマン・ロッホの定理の一般化
n-次元への一般化であるヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、フリードリッヒ・ヒルツェブルフにより、代数トポロジーの特性類の応用として発見され証明された。彼の仕事は小平邦彦の仕事に大きな影響を与えた。同時期に、ジャン・ピエール・セールは、現在では知られているようなセール双対性に一般的な形を与えた。

アレクサンドル・グロタンディークは、1957年に現在はグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理（英語版）(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)として知られている遠大な一般化を行った。これにより、リーマン・ロッホの定理は1つの多様体についての定理ではなく、2つの多様体の間の射についての定理として一般化される。

＜英語版＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Roch_theorem
Riemann–Roch theorem
See also
・Grothendieck–Riemann–Roch theorem
・Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
・Kawasaki's Riemann–Roch formula

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/852

856: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 16:02:34.25 ID:QECWbxG/

>>854
>リーマン・ロッホは有限性定理を踏まえている。
>消滅定理と有限性定理は似て非なるもの。である

有限性定理か
寡聞にして あまり耳にした記憶が無い
検索すると、下記か

さすが、プロ数学者ですね　（＾＾；

(google検索)
リーマン・ロッホ "有限性定理"
＜結果＞
https://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/sekiguti/research/3.pdf
リーマン・ロッホの定理の一般化
高知工科大学 共通教育教室
K SEKIGUCHI 著 — 従って、完備多様体の有限性定理より dimk LX(D) = dimk H0(X, O(D)) < +∞. が解る (飯高、代数幾何学、p.80, 定理 2.10 を参照のこと)。 11. Page 12. Question 3 ...
17 ページ

https://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/sekiguti/research/4.pdf
付値環を用いた数論と代数幾何学
高知工科大学 共通教育教室
一変数代数関数体の理論、特にリーマン・ロッホの定理. 12.4. 一変数代数関数体 ... . 定理 1 を有限性定理という。この結果はコホモロジー群に一般化さ. れる。 4 ...
186 ページ

https://www.saiensu.co.jp/preview/2020-978-4-7819-9970-8/index.htm
複素多様体論講義 - サイエンス社
saiensu.co.jp
辻元著
2020/03/10 —
16.2 コンパクトリーマン面上のリーマン-ロッホの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.
16.3 ...
18.2 有限性定理と上半連続性定理 .

http://www.mathsoc.jp/sections/algebra/sp_lecture/
代数学分科会における過去の特別講演
日本数学会
齋藤政彦（北大理） K3 曲面の rigid でない族の分類と Arakerov 型有限性定理

https://www.reddit.com/r/math/comments/198qqym/what_are_the_main_theoremsideas_on/?tl=ja
スキーム論的代数幾何学における「主要な定理/アイデア」って ...
2年前
10 件以上のコメント · 1 年前
リーマン・ロッホのステートメント（！）、応用. 好きなフレーバーの ... セールの有限性定理：Xがネーター環A上の射影的で、Fが連接層の場合、Hi ...
回答 18 件
ベストアンサー:
理想的な最初のAGコースと2番目のAGコースの主要な定理に関する、私の非

http://kanielabo.org/mybook/bnalge/mokuji.htm
『代数学とは何か』目次
kanielabo.org
4次元リーマン幾何のワイル・テンソルとリッチ・テンソル． SU(2) と SO(3) ... 有限性定理．リーマン--ロッホの定理． §22 K理論: A. 位相的K理論 ベクトル束と関 ...

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/856

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 16:25:35.71 ID:QECWbxG/

ほいよ

https://zenn.dev/xiangze/articles/d88995d4f10ca3
zenn
チャーン類(特性類)と曲率の関係
2023/01/23に公開
2023/10/24
特性類とは多様体(M)に対して計量のとりかた、変換に対して不変になる多項式の係数として定義され、コホモロジー群
H∗(M,A)H ∗ (M,A)
(Aは多項式の係数の体,*は任意の階数)の要素としても特徴づけられます。
係数となる体の種類に応じてEuler類、ポントリャーギン類(実数)、Stiefel-Whitney類,todd類などのものが知られています。
その中でもチャーン類は曲率形式と行列式を使って定義されます。
参考書で挙げた本では
自然性
直和(Whitney和)に対して積となること
などの公理と射影多様体からの構成的な方法で特性類とその値を定義、計算しているものが多いですが、曲率と不変多項式(行列式)を使った定義のほうがより直感的に感じました。
なぜその定義で特性類の性質を満たせるかは式を追って納得しないといけません。
前提知識
微分
群、環の定義
リー群、リー環の定義
複素関数の性質について
微分形式
コホモロジー群と蛇の補題
行列式の各項が対称式となる性質
あっさりした導入
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%B3%E9%A1%9E
チャーン類
数学では、特に代数トポロジーや微分位相幾何学や代数幾何学では、チャーン類(Chern classes)は複素ベクトル束に付随する特性類である。
チャーン類は、Shiing-Shen Chern (1946) で導入された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%B3%E7%9C%81%E8%BA%AB
陳省身（ちん しょうしん、英: Shiing-Shen Chern 北京官話: [tʂʰən.ɕiŋ.ʂən]、1911年10月28日 - 2004年12月3日）は中華民国、アメリカの数学者。エリ・カルタンを継ぐ20世紀を代表する幾何学者。
教え子に野水克己やシン・トゥン・ヤウ（丘成桐）がいる
研究
ガウス・ボンネの定理の非常に簡単な証明やチャーン類の発見、チャーン・ヴェイユ理論、チャーン・サイモンズ理論（近年数理物理学で特に重要な役割を果たしている）でよく知られている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/858

865: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 20:33:04.45 ID:4Nc81kvo

>>861
>日本語版Wikipediaでは、obstructionについて説明したものがないな　やれやれ・・・
>それじゃ、代数学の基本定理が、なぜ層で語れるのか、分かりようもない

ほほう、ソウソウ・・ ソウなんかｗ（ソウ＝層）
層と言えば、岡潔
岡潔といえば、多変数解析函数論
多変数解析函数論といえば、御大か

まあ、ここは プロ数学者も巡回しているから
『”層＋obstruction”→ 代数学の基本定理が導けるぞ！』ｗｗｗ
についての 論争を期待しています （＾＾

がんばってくれ！！
逃げないようにｗｗ　；ｐ）

(参考)（関係なさそうだが 検索ヒット："obstruction" sheaf math したの貼る）
”In a 1959 letter to Serre, Grothendieck observed that a fundamental obstruction to constructing good moduli spaces is the existence of automorphisms.”な
https://en.wikipedia.org/wiki/Stack_(mathematics)
Stack (mathematics)
In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist.

Motivation and history
The concept of stacks has its origin in the definition of effective descent data in Grothendieck (1959).
In a 1959 letter to Serre, Grothendieck observed that a fundamental obstruction to constructing good moduli spaces is the existence of automorphisms.

Mumford (1965) studied the Picard group of the moduli stack of elliptic curves, before stacks had been defined.
Stacks were first defined by Giraud (1966, 1971), and the term "stack" was introduced by Deligne & Mumford (1969) for the original French term "champ" meaning "field". In this paper they also introduced Deligne–Mumford stacks, which they called algebraic stacks, though the term "algebraic stack" now usually refers to the more general Artin stacks introduced by Artin (1974).

https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_obstruction_theory
Perfect obstruction theory
In algebraic geometry, given a Deligne–Mumford stack X, a perfect obstruction theory for X consists of:
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/865

866: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/13(木) 21:04:38.33 ID:4Nc81kvo

>>862
>James Douglas Boydという人が

ほいよ
　>>22-23より 再録
所詮、James Douglas Boydは、数学者ではないってことだね （＾＾

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/764
woit氏ブログ
abcコメント2025.10.27
Mochizuki’s response to Boyd’s report:
(Feel free to disregard this, as the response contains ad hominem attacks.)

https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=15277
Two Number Theory Items (and Woody Allen)
Posted on September 20, 2025 by woit
James Douglas Boyd has recently spent a lot of time interacting with Mochizuki and others at RIMS working in anabelian geometry. Material from interviews he conducted are available here (Mochizuki on IUT) and here (on anabelian geometry at RIMS). He also has written a summary of IUT and of the basic problem with the abc proof. These include detailed comments on the issue pointed out by Scholze-Stix and why this is a significant problem for the proof. I’d be curious to hear from anyone who has looked at this closely about whether they agree with Boyd’s characterization of the situation.
There’s also a lot of material the IUT ideas, independent of the problematic abc proof, and about what Mochizuki and others are now trying to do with these ideas.
Update: A commenter points to this from Mochizuki, which denounces Boyd and his report, as well as discussing prospects for formalizing IUT and the abc proof.

https://jp.linkedin.com/in/james-douglas-boyd-48a4311ba
James Douglas Boyd
CEO/CTO at Sci Research | Ex-Wolfram
学歴
Wolfram Summer School
Postgraduate
Advisor: Stephen Wolfram
The New School
Graduate
University of Michigan
Undergraduate

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/866

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