Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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52: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:38:28.55 ID:PmfdHnoP

>>48-50 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)

纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
　の存在ができる
2）一方
　到達不可能な基数の存在を仮定して、
　フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
　”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
　（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）

かように
採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです　（＾＾
良い子は、これを覚えておこうね　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/52

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/03(月) 09:43:47.71 ID:RGcnI1b5

>>60
(引用開始)
>もし、可算選択公理しか認めないならば
>もっと簡単に、
>”任意の実数の部分集合が 可測である model”
>の存在が証明できるだろう
>（どうやれば良いかは知らないが）
できねぇわ　🐎🦌
なぜ「できない」と断言できるか？
可算選択公理を満たし
実数の部分集合で非可測なものが存在するmodel
が存在するから
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
1）話は真逆だよ
　Solovay model https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
　の示すところは、ZF+従属選択公理+到達不能基数 において
　「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」>>48
　となる モデルの存在が示せるということだね
2）これから導かれることは
　非可測集合を生み出す力は、フルパワー選択公理にあるってことだ
　よって、なんらの選択公理なしの（つまり可算選択公理さえない）
　シンプルZF公理系では
　「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」>>48
　となる モデルの存在が示せるだろう
3）さて、可算選択公理は、可算濃度の集合しか生み出す力が無いことは、自明とする
　このとき、下記 ルベーグ測度 ”可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である”（下記）
　を 思い出そう
　そうすると、可算選択公理が生み出す
　実数Rの部分集合たる 可算濃度の集合のルベーグ測度は必ず 0 になる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ルベーグ測度
例
・可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/62

64: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/03(月) 10:09:29.42 ID:RGcnI1b5

>>59
>学習は記憶ではない
>カラスの世田は必死に公式を記憶して大学入試を突破したのだろうが
>そのやり方が間違っていたから大学数学が全く理解できずに落第した

真逆だよ
数学に王道なし を 真に受けて 廃人になりかけた わんこらさん(京大数学科)の実例がある（下記）

杉浦先生を弁護しておくが、「解析入門1」を書店でチラ見したが、そう難しいことは書かれていない
だが、冒頭で 多分確認用に 軽いノリで 必要な集合論の知識を さらっと書いてあるんだ
だが、わんこらさんは ”数学に王道なし を 真に受けて” この軽いノリの集合論の知識を
独学で理解しようとしたらしいね（高校卒業後の学部1年の最初に）
そして、何年もヒキコモリ生活を続けたらしい・・ （＾＾；

下記レビューで、seoさんが書いているように
冒頭は さらっと流して、次の章に進むべし。そして また 前に戻る
それで理解が出来ないならば、もっと やさしい 本を探すのが良いだろう■

https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1
僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…わんこら式数学の勉強法はこうやって生まれた
わんこらチャンネル  2020/05/30
（文字おこし）
0:11
この解析入門1
これで僕は人生がメチャクチャになりました
これで
何回も何回も挫折して
家に引きこもって
そして留年しまくって
　・
　・

＜アマゾン＞
解析入門 (1) 杉浦 光夫 (著)
東京大学出版会 1980
レビュー
seo
5つ星のうち3.0 入門書としては☆ひとつ
2018年6月30日に日本でレビュー済み
フォーマット: 単行本Amazonで購入
解析学という書名で良いと思います。
入門とわざわざ付けることは非合理的で、何も良いことはありません。
様々な数学的分野は互いに互いを前提とする必要があるので、縦割りに順番に習得するものではなく、混じり合い行ったり来たりしながら学ぶものです。
よって本書が要求するある程度以上の数学的知識の前提を満たす者は、ある程度解析学にも触れているでしょう。
そういう意味では、本書は解析学の入門者を対象にしておらず、解析学も含めたある程度の数学的形式が頭の中にすでに存在する人を対象にしています。
前提とするものを最小限にし、かつ理解しやすさと厳密性を可能な限り両立させる事ができている本、それがいわゆる良い入門書だと思います。
厳密性と網羅性が優れている本が良い入門書とは思えません。
26人のお客様がこれが役に立ったと考えています

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/64

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