Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 22:07:23.78 ID:i+EantH6

"ネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示"
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/
数学総合 若手研究集会INDEX
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2020/pdf/wakate_abstract_2020.pdf
第16回数学総合若手研究集会数学の交叉点アブストラクト集
冨田 拓希慶應義塾大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻
捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対積表示

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2020/pdf/tomita_takuki.pdf
捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示
慶應義塾大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻
冨田拓希(Takuki TOMITA)

概要
黒川は、その“p 1での極限”(絶対ゼータ関数)が持つであろう無限積構造(絶対Euler積) を示唆している。本レポートでは、ConnesとConsaniにより定義された捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示を与える。

1 合同ゼータ関数と絶対ゼータ関数

2 F1スキーム一元体F1とはZの“係数体”とみなせるような数学的対象であり、1957年にTitsにより有限体Fq の類似として初めて言及された。そして1990年代にDeningerと黒川が、F1の概念を導入することにより、Weil予想と類似した方法でRiemann予想にアプローチできるという可能性を示唆した[Man95]。それ以降F1上の幾何学の理論を様々な方法で構築しようとする試みがなされていて、現在も発展途上の理論である。本レポートではDeitmar[Dei05]が定義したモノイドスキームの理論を発展させたConnesとConsani [CC10]のF1の理論を用いる。ちなみにこの理論におけるF1は、自明な乗法モノイド1に0を付け加えて演算を延長した1乗法モノイド0,1として定義する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/37

43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 23:15:33.51 ID:i+EantH6

http://pantodon.jp/index.rb?body=F1
信州大
Algebraic Topology
1個の元から成る体

Soulé の [Sou04] によると, 1個の元から成る体 F1 の存在は, 数多くの数学者が夢想したことのようである。その論文の最初の節は, F1 の歴史について書かれている。

F1 を考えるというアイデアは, 対称群と線形群を統一して扱いたい, という要望に基づくものだそうだ。n次対称群を GLn(F1) や SLn(F1) と考えたり, n個の元からなる集合を F1 上のn次元射影空間, (n+1)個の元から成る基点付き集合を F1 上のn次元 affine 空間と考えると都合の良いことがあるからである。

最初に考えたのは Tits だろうか。Soulé の論文には Tits の [Tit57] や Manin の [Man95] などの文献が挙げられている。当然であるが, 他にも有限体上の general linear group と対称群の類似に気が付いた人はいるようである。Borger の [Bor] では, R. Steinberg の [Ste51] が上げられている。確かに§2の最後にそれらしい記述がある。Lescot [Les09] は, Zhu の2000年の preprint でのアイデアとの比較が行なわれている。Lorscheid [Lor16] の解説によると, より一般に Weyl群を Lie 群 (代数群) の F1-point と見るべきのようである。

この neverendingbooks の post では, Riemann予想が motivation として書いてある。そこから link の張られている Connes と Consani と Marcolli の "Fun with F1" [CCM09] にあるように, noncommutative geometry のアイデアが使えるというのは興味深い。

もちろんまだ発展途上の分野であり, 様々なアイデアが提案されている段階, だと思う。 それらの関係については, López Peña と Lorscheid の [LL11], そして Lorscheid の [Lor16] の part I を見るとよいかもしれない。Le Bruyn の lecture note [Le 16] も, 歴史的なことにも触れてあって面白い。

体があれば, 様々なことができる。最も基本的なのは, 線形代数だろうか。 このpostでは, “F1n上のlinear algebra”について述べられている。 元になっているのは, Kapranov と Smirnov の未発表論文 [KS] らしいが。F1上の線形代数については, Thas の [Tha16] の§4でもまとめられている。

GLn(F1)  を n次対称群と解釈するということは, braid群 を F1 を使ってどう表わすかというのは, 自然な疑問である。 このneverendingbooksのpostによると, GLn(F1[t]) が答えのようである。

線形代数の次は, 体上の可換環や associative algebra, そして可換環から代数幾何学を構築することだろう。 F1 上の代数幾何学の類似を geometry over F1 などと言ったりする。
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/43

48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:22:31.31 ID:PmfdHnoP

さて、ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
公理的集合論について、下記のVitali set
と フルパワー選択公理との関係を書いておく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3] In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]

https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
(google訳)
数学の集合論分野において、ソロヴェイモデルはロバート・M・ソロヴェイ （1970 ）によって構築されたモデルであり、選択公理を除くツェルメロ・フランケル集合論（ZF）の公理がすべて成立するが、実数のすべての集合はルベーグ測定可能である。この構築は、到達不可能な基数の存在に依存している。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/48

49: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:23:54.11 ID:PmfdHnoP

つづき

このようにして、ソロヴェイは、ZFC (ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理を加えたもの)からの非測定集合の存在の証明において、少なくともアクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提のもとで、選択公理が不可欠であることを示しました。

Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。

Construction
Solovay は、アクセス不可能な基数 κ を含む ZFC の モデルMから始めて、2 つのステップでモデルを構築しました。

最初のステップは、κ 未満のすべての基数を ω に縮約する強制の概念の一般集合Gを追加することにより、 Mのレヴィ縮約 M [ G ]をとることです。すると、 M [ G ] は、順序数の可算列上で定義可能なすべての実数集合がルベーグ可測であり、ベール集合の性質と完全集合の性質を持つという性質を持つ ZFC のモデルになります。(これには、すべての定義可能集合と射影的実数集合が含まれます。ただし、タルスキの定義不可能性定理に関連する理由により、定義可能な実数集合の概念は集合論の言語で定義できませんが、可算な順序数の可算列上で定義可能な実数集合の概念は定義できます。)

第二段階は、M [ G ]内の全ての集合のうち、順序数の可算列上で遺伝的に定義可能なもののクラスとして、ソロヴェイのモデルN を構築することである。モデルNは、ZF + DC を満たすM [ G ]の内部モデルであり、実数の全ての集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。この証明は、M [ G ] 内の全ての実数が順序数の可算列上で定義可能であり、したがってNとM [ G ] は同じ実数を持つという事実を用いる。

SolovayのモデルNを使用する代わりに、同様の特性を持つ実数の構成可能閉包からなる M [ G ]のより小さな内部モデルL ( R )を使用することもできる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/49

50: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:24:19.17 ID:PmfdHnoP

つづき

Complements
ソロヴェイは論文の中で、非可算基数の使用は必ずしも必要ではないかもしれないと示唆した。
複数の研究者が、非可算基数の存在を仮定することなく、ソロヴェイの結果のより弱いバージョンを証明した。特に、クリヴィン（1969）は、すべての順序数定義可能な実数集合が可測となるZFCモデルが存在することを示し、ソロヴェイは、実数のすべての部分集合にルベーグ測度の並進不変拡張が存在するZF + DCモデルが存在することを示し、シェラ（1984）は、すべての実数集合がベール性を持つモデルが存在することを示した（したがって、この場合、非可算基数は実際には不要である）。

完全集合性の問題は、スペッカー（1957）によって解決されました。
彼は（ZFにおいて）すべての実数集合が完全集合性を持ち、最初の非可算基数ℵ 1 が正則基数である場合、ℵ 1 は構成可能宇宙においてアクセス不可能であることを示しました。ソロベイの結果と組み合わせると、「アクセス不可能基数が存在する」という命題と「ℵ 1 は正則基数である + すべての実数集合は完全集合性を持つ」という命題はZFにおいて等価であることが示されます。[ 1 ] p. 371

Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.

シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/50

52: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:38:28.55 ID:PmfdHnoP

>>48-50 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)

纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
　の存在ができる
2）一方
　到達不可能な基数の存在を仮定して、
　フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
　”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
　（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）

かように
採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです　（＾＾
良い子は、これを覚えておこうね　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/52

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