ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (667ﾚｽ)
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237(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)11:46 ID:Om34p0pv(1/4) AAS
>>236
ご苦労さまです
ありがとうございます
スレ主です
Grokさんは、”知識”という意味では 賢い（多数文献を読んで 上澄みを出力するという意味で）
が、「理解」という概念は、軽々しく使わないのが良いだろうと これを読んで思う
>>223-235のGrokを批判すれば
1）まずは、有理数体Qの場合に限って
代数方程式ガロア理論を説明すれば良いところだが（標数pの場合は それが済んでから）
そういう区別ができないらしい（多数の文献読んで ぐしゃぐしゃｗ）
省19
238(1): 暇人 06/28(土)11:56 ID:4S+Arcik(15/23) AAS
>>236
やっぱりスレ主はGrokよりはるかに分かってなかった
>まずは、有理数体Qの場合に限って・・・説明すれば良いところだが
分かってない人の典型的発言
> 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」とか イミフ
「イミフ」は分かってない証拠
> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
> 有理数体Qが標数0だと「理解」しているかどうか？そこから疑問だし、標数の意味さえあやしいかも
高卒君は標数に劣等感刺激されてイラついてます
239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)13:16 ID:Om34p0pv(2/4) AAS
>>237 補足
下記の 謎の数学者氏
・”大学数学を独学で学ぶ際の教科書の選び方。とりあえず、本の○○を見よ！”と
・”教科書は一冊に絞る： • 大学レベルでの数学の教科書を読む際の注意点。”と
・学生時代はつい先を急ぎたがるが、急がば回れ。
・数学の教科書の読み進め方。大学レベルの数学の教科書を独学で読み進めるには？
ここらが、ガロア理論に限らず 参考になるだろう
要するに、自分のレベルや数学経験と 数学テキストのレベルが合っているか？
Grokさんは、相手の”知識”とは無関係に、多数文献を読んで 上澄みを出力するので
分っている人には分るし、「ヘンなことを言っているぞ」も分る
省19
240(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)13:30 ID:Om34p0pv(3/4) AAS
>>238
>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
やれやれ
馬脚だよｗ ；ｐ）
一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
正の有理数 q≠1 についてのn乗根では 直接には原始n乗根は存在しない（クンマー拡大になる） ；ｐ）
(参考)
(google)検索：1の冪根と原始根との関係
1の冪根
省31
241: 暇人 06/28(土)14:52 ID:4S+Arcik(16/23) AAS
>>240
>>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
>やれやれ馬脚だよ 一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
>(google)AI による概要
>1のn乗根のうち、1以外のすべての冪乗が1にならないものを原始n乗根と呼びます
>原始n乗根は、1のn乗根全体を生成する役割を持ちます。
>1のn乗根は、原始n乗根を生成元として、それらの整数乗で表すことができます。
>例えば、1の12乗根は、原始12乗根の1乗、5乗、7乗、11乗で生成されます。
高卒君はAIもロクにつかえなかったか
242(1): 暇人 06/28(土)14:54 ID:4S+Arcik(17/23) AAS
>>236
【Grokへの追加質問】
十分性の証明で、「ζ‗niは方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）。」とあり、
１のべき根を添加するのに、１のべき根自身を添加すればいいと読めてしまいますが、これだと、循環論法になりませんか？
【Grokからの回答】
ご指摘の通り、十分性の証明において、
「原始 ni 乗根 ζ‗ni が方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）」
という記述が、循環論法に見える可能性があります。
この点について、明確化し、循環論法でないことを説明します。
243(1): 暇人 06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23) AAS
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。
問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
Ki が１の原始 ni乗根 ζ‗ni を含まない場合、Ki(ζ‗ni) を構成する必要があり、
これが x^ni−1=0 の解の添加（べき根の添加）として記述されると述べました。
ご指摘の懸念は、ζ‗ni 自体が x^ni−1=0 の解であるため、
省3
244(1): 暇人 06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23) AAS
>>243
ステップXの詳細な再検討
状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。
もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。
原始乗根の添加
１の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、
Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。
省6
245: 暇人 06/28(土)14:57 ID:4S+Arcik(20/23) AAS
>>244
なぜ循環論法でないか？
ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。
しかし、以下の理由から循環論法にはなりません：
べき根の定義：
「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。
x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。
証明の文脈では、Ki に ζ‗ni が含まれていない場合、
Ki(ζ‗ni) を構成することは、Ki の元（ここでは 1∈Ki）を用いた
方程式 x^ni−1=0 の解を追加する操作であり、これは「べき根の添加」の定義に一致します。
省10
246(1): 暇人 06/28(土)14:58 ID:4S+Arcik(21/23) AAS
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。
ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。
循環論法の回避：
循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。
ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて
省12
247: 暇人 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23) AAS
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：
ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。
ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。
この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、
省6
248(1): 暇人 06/28(土)15:14 ID:4S+Arcik(23/23) AAS
242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが
肝心のところはどうもわかってなさそう
とはいえ、スレ主 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP は
全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと
249(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)19:57 ID:Om34p0pv(4/4) AAS
>>248
ちょっと質問していいか？
Q1.君は、どの本で代数方程式のガロア理論を勉強したの？ 石井の頂本かい？
Q2.Grok(下記) LLMの限界を認識しているかい？
つまり、自然言語の処理にはそこそこ使えるが
数学の議論には、あまり向いていない
例えば、>>240で引用したように 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
LLMでは、語と語の結びつきを確率的に扱うという。しかし、数学では一つの議論における数学用語は 確率的に扱うとトンデモだよ
数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
Grokくん、それ分ってないだろうね？
省24
250(3): 暇人 06/29(日)04:55 ID:gukAFALT(1/12) AAS
>>249
質問には答えない 無意味だから
> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
どの本を読んだか知らないが、
その言葉で、全く分かってないことが露見
そこ、全然関係ないから
１のｎ乗根をどう書き表すつもり
cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
省9
251(2): 06/29(日)05:46 ID:7dyWRJwu(1) AAS
>>250
ガソリン猿人どころか脳や宇宙自体が単なる熱力学的機械かもしれない。
252: 暇人 06/29(日)07:06 ID:gukAFALT(2/12) AAS
>>251
そういう下らんツッコミ マジでウケると思って言ってる？
おまえアートとかスポーツとかマジでわかんない朴念仁？
253(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)08:49 ID:HQSTLRKE(1/13) AAS
>>250-251
"暇人"は、おサル>>10か
ID:7dyWRJwu は、どなたか まだ分らんが 早朝からご苦労さまです
>１のｎ乗根をどう書き表すつもり
>cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
>とかいうなよ 笑われるぜ
さて、笑われるのは ”あなた”ですよ(下記)
(参考)
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語 レベル:★数学オリンピック対策
省12
254: 暇人 06/29(日)08:57 ID:gukAFALT(3/12) AAS
>>253
>笑われるのは ”あなた”ですよ
いや、あなた 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
君、一度も、cos 2mπ/n とか i*sin 2mπ/n が、
べき根で表せるなんてこと言及してないよね
一度も、そこ考えたことないよな
要するにガウス以前 １８世紀
省3
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)09:31 ID:HQSTLRKE(2/13) AAS
>>250
>> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
>> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
>> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
>どの本を読んだか知らないが、
>その言葉で、全く分かってないことが露見
>そこ、全然関係ないから
君は、石井の頂本（下記）を買ったというが、全然読めてないぞ
関連箇所を 引用しておくから、百回音読してね ；ｐ）
要点は、1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
省46
256(1): 06/29(日)09:49 ID:D/OwAG+k(1/8) AAS
>>255
>1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
nは素数ですか、一般の自然数ですか？
いずれにしても、x^n-1は既約ではない。
ガロア群は基礎体上の既約方程式に対して定義されるのではないですか？
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」とのことですが
「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？
つまり、巡回群より一般の「アーベル群」がガロア群として
省3
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