[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 35問目 (960ﾚｽ)
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1(5): 2021/02/27(土)13:20 ID:LMn5+ngY(1) AAS
過去ログ(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
//w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
省30
941: 2021/05/26(水)15:17 ID:SxcQFnub(1) AAS
突然ですが、
条件付き期待値というのが
地球🌍にもいつの間にか存在する
E(X│Y)と書くようだ。これツカエル
さて、
L:= 左の箱の金額(円) で
R:= 右の箱の金額(円) としようと
思ったけど、でも、しかし、
交換手数料 100(円) なら、ホントは
A:= 左の箱の金額(円) = L
省15
942(1): 2021/05/26(水)16:23 ID:yk9Staeb(4/4) AAS
>>934
そもそもBの理論は交換料が1円であることを前提に組み立ててるのにそのまま100円に増やすのは馬鹿だよ
もし交換料100円だったらBは左の箱が64円以下のときはそもそも交換しないはず
943: >>940の続き 2021/05/26(水)17:24 ID:YnykrN6d(1) AAS
モンテカルロ法でやろうと思ったけど
ヤッパリ、やめた。
∵コンピュータに頼っては、いけない
で、
1＜x＜∞で、
文章「交換で、期待値1.5倍になる」
を数式で表現で
1.5 * E(L│L=x) = E(R│L=x) で、
交換手数料100円の場合で、モチロン
次の不等式だぁぁぁぉ
省8
944: 2021/05/26(水)23:29 ID:+jhsOoHy(1) AAS
>>942
交換した方が有利な確率が12.5％
945: 2021/05/27(木)03:05 ID:rUGPk1z+(1) AAS
>>922のゲームだが
コインを1回投げる
表が出たら、左の箱に多めの金、右の箱に少なめの金を入れる
裏が出たら、右の箱に多めの金、左の箱に少なめの金を入れる
というゲームと本質的には同じ
よって正しいのは当然A
もちろん中身が1円だったら交換すべきだが
じゃあBの主張はどこがまずいかっていうと
Bの計算はゲーム開始前、双方の箱の期待値が共に無限だった段階では正しい(たぶん)
しかしゲームを開始して箱を選んでしまうと値が有限に確定するので正しくなくなる
省10
946(2): 2021/05/27(木)07:44 ID:OcRqs6Kv(1/3) AAS
>>922
変更してしてコインのトスは3回までとしてよってn=0,1,2,3とする
２つの箱の賞金は{1,4},{4,16},{16,64},{64,256}しかないとする
プレーヤーのベスト戦略は何か？
どちらの箱が多いかは同様に確からしいから箱交換は1円払うだけ無駄というＡの理論は正しいか？
947: 2021/05/27(木)10:02 ID:PJz6XUX5(1) AAS
>>946
ポク👾は、その内に解くが、その前に、
ポク👾が、やるべきことは、
それは、モピロン、nの出力を
コンピュータにやらせることだ。
というワケで、モピロン
nの出力をモンテカルロ1万回やったぁ
結果
P(n=0) = 49.70％
P(n=1) = 27.50％
省14
948: 2021/05/27(木)11:05 ID:OcRqs6Kv(2/3) AAS
>>946
この問題で最初に開けた箱の金額をX、もう一つの箱の金額をYとする
X=1,4,16,64,256
のいずれか
E(X | X = 1) = 1, E(X | X = 4) = 4, ‥
は当たり前
E( Y | X = 1 ) = 4, E( Y | X = 4 ) = 6, ‥
X=1, X=4であった場合には交換費用1円を払っても交換する方が期待値は高まるとわかる
他の場合はどうか
949: 2021/05/27(木)12:28 ID:Xhkx6eJi(1) AAS
L=1 のとき
B_o R=4 確率 1/4
L=4^n (n≧1)のとき
F_(n-1) R=4^(n-1) 確率 (1/2)^(n+1)
B_n R=4^(n+1) 確率 (1/2)^(n+2)
L=1 のとき
箱を取り替えた方が2円得。
L≧4 のとき
金額の4乗根を新たな尺度としよう。(!)
・箱を取り替えないとき
省10
950: 2021/05/27(木)13:10 ID:OcRqs6Kv(3/3) AAS
n の最大が3のとき
E( Y | X = 1 ) = 1×4 = 4
E( Y | X = 4 ) = 2/3 × 1 + 1/3 × 16 = 6
E( Y | X = 16 ) = 2/3 × 4 + 1/3 × 64 = 24
E( Y | X = 64) = 2/3 × 16 + 1/3 × 256 = 96
E( Y | X = 256 ) = 1 × 64 = 64
∴ プレーヤーの最適戦略は箱を開けて256円入っていれば交換せず、それ未満であれば箱を交換する
このゲームは実際にシミュレーターを作ってもできるしそもそも全事象が有限個しかないので全部書き出して確認する事もできる
この戦略が最適化戦略である事は論を待たない
このゲームでは最初に開けた箱の値に応じて“事後確率”が変化しプレーヤーは得た情報で情報がない場合より獲得できる金額の期待値をあげることができる
951: 2021/05/27(木)13:14 ID:jn00gL/1(1/2) AAS
おもしろき…
こともなき問いを
おもしろく (詠み人知らず)
952: 2021/05/27(木)13:15 ID:qjGfVF9p(1/2) AAS
【👾の未完成なのに投稿】
「箱の額の1/4乗を考える」の代わりに
「箱の額の対数（底は1/4)考えた」
というか、
より正確には、ヤヤコシイのだが、
確率変数L:=左の箱の金額 で
logの底を1/4 とし、
とにかくLをL1とL2に変換だ
L1= −log(L)-1 、L2= −log(L) として、
L1とL2を2:1で比例按分すると、
省6
953: 2021/05/27(木)13:42 ID:1hhkR1yF(1) AAS
プロおじ誰にも相手にされず
954(1): 2021/05/27(木)13:45 ID:qjGfVF9p(2/2) AAS
そっか、なんか分かった。
ポク👾が胴元なら、交換手数料は、
開封した金額の、半分とする。
ところで、開催者もケチだな。
∵∞にお金もってると思われる
∴開催者もケチだ。だから
箱の金額は、4^nなんてショボいこと
やめて、せめて、10^nとか
そうだ、1000^n^n^n^n^n^nに
して欲しいと思います。
省1
955: 2021/05/27(木)14:33 ID:jn00gL/1(2/2) AAS
>>954
走馬灯ですか？
956: >>954のとにかく続き 2021/05/27(木)21:09 ID:zTCCDRej(1) AAS
とにかく、nの期待値が有限値1なのに
とにかく、E(L) = E(R) = ∞ は、謎だ
とにかく、Aクンは、交換手数料が
有限値ならどんなに高額でも、
難しく考えず交換しても、しなくても、どっちでも
無限回ゲームすれば、無限大の
金額をゲットできる。モピロン理論上
by 👾の本日の結論
957: 2021/05/28(金)00:14 ID:xAwBFj0e(1/2) AAS
クイズ大陸より転載
問題
「nを自然数として、数列{an}をan=3n^2+n+4とする。整数部を0として、小数点以下にanを順に並べた数をAとする。Aが任意の有限な数列を含むことを示せ。」
※ a1=8,a2=18,a3=34,a4=56……となるのでA=0.8183456……というようになります。
958(1): 2021/05/28(金)00:20 ID:AVWLOyTm(1) AAS
コレはどういう意味なんだろ？
任意の0〜9からなる有限列を含む事を示せかな？
959: 2021/05/28(金)00:32 ID:xAwBFj0e(2/2) AAS
>>958
その捉え方であってる
コピペはしなかったけど、問題の前に「円周率にはどんな有限数列も含まれているらしい」みたいな話をしている
960: 2021/05/28(金)01:21 ID:6UP9MWps(1) AAS
まず任意の自然数nとkに対し方程式
3x^2+x+4 ≡ 5k ( mod 10^m )
は解を持つ
実際この方程式はa = 4 -5kとおいて
(2x +1/3)^2 ≡ (1-12a)/9 ( mod 2^(m+2) )
〃 ≡ 〃 ( mod 5^m )
がそれぞれ解を持てばよい
そのためには
X^2 ≡ 1-2a ( mod 2^(m+2) )
〃 ≡ 〃 ( mod 5^m )
省5
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