純粋・応用数学

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53: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)07:54 ID:zp6RcyFj(4/6) AAS
>>49
(引用開始)
>>47
スター[star]か。其れはナンバー[Number]ではなくニンバー[Nimber]か？
Star (game theory) - Wikipedia
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Nimber - Wikipedia
外部ﾘﾝｸ:en.m.wikipedia.org
(引用終り)

*を使ったとき、上記の”Star (game theory) - Wikipedia”は、全く知らなかったんだ（＾＾；
省1

54: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)10:46 ID:YIE+6BeO(1/6) AAS
>>46
>準超実数体、超実数体などを含む）すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる[1]。

面白いね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抽象代数学における準超実数[要出典]（じゅんちょうじっすう、英: super-real number）は実数を拡張する数のクラスで、Dales & Woodin (1996) によって超実数を一般化するものとして導入され、主に超準解析・モデル理論・バナッハ環論において興味がもたれる。準超実数全体の成す体は、それ自身が超現実数体の部分体を成す。
目次
1 厳密な定義
2 注
3 参考文献
省6

55: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)10:50 ID:YIE+6BeO(2/6) AAS
>>46
＞ 13.1.3 コンウェイの実現との対応

コンウェイは、下記か
コンウェイ群の発見 (1968)は有名
弟子、ボーチャーズは、ムーンシャインインでフィールズ賞だね

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジョン・ホートン・コンウェイ

ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway, 1937年12月26日 - ）はイギリスの数学者。現プリンストン大学教授。

仕事
コンウェイ群の発見 (1968)、ライフゲームの考案 (1970)、超現実数の発明 (1970)、巨大数のコンウェイ記法の発明などで知られる。
省1

56(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)11:06 ID:YIE+6BeO(3/6) AAS
>>46 補足

面白いね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超現実数
(抜粋)
ω の冪

すなわち、任意の超現実数は
略
なる形に一意的に書くことができる。ここに、各 rα は非零実数で yα は超現実数の狭義単調減少列である。
しかし、この右辺の「和」は無限個の項（その長さは一般には任意の順序数となる）を持ち得る（もちろん 0 はこの係数列が空集合となる場合に相当し、最高次の冪を持たない唯一の超現実数である）。
省2

57(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)11:09 ID:YIE+6BeO(4/6) AAS
>>56 補足
＞これは超現実数をハーン級数として定式化するための基礎となる。

面白いね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超現実数
(抜粋)
ハーン級数
Alling (1987)(th. 6.55, p. 246) もまた超現実数体が実係数ハーン級数（英語版）体（各級数の和の値は超現実数として解釈する）に順序体として同型となることを証明した（この級数表現は、上述した超現実数の標準形に対応するものである）。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。

この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である（例えば ν(ω) = ?1）。したがって、この体の付値環は有限超現実数（実数または実数に無限小成分を加えたもの）すべてからなる。
ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における（正順の）整列部分集合によって定式化されていることによるものである。

58(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)11:13 ID:YIE+6BeO(5/6) AAS
>>57
＞超現実数体が実係数ハーン級数（英語版）体（各級数の和の値は超現実数として解釈する）に順序体として同型となることを証明した

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Hahn series
(抜粋)
In mathematics, Hahn series (sometimes also known as Hahn?Mal'cev?Neumann series) are a type of formal infinite series.
They are a generalization of Puiseux series (themselves a generalization of formal power series) and were first introduced by Hans Hahn in 1907[1] (and then further generalized by Anatoly Maltsev and Bernhard Neumann to a non-commutative setting).
They allow for arbitrary exponents of the indeterminate so long as the set supporting them forms a well-ordered subset of the value group (typically {Q} or {R} ).
Hahn series were first introduced, as groups, in the course of the proof of the Hahn embedding theorem and then studied by him as fields in his approach to Hilbert's seventeenth problem.

Contents
省8

59: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)11:48 ID:YIE+6BeO(6/6) AAS
>>58 関連

英語のページが、実に充実しているね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
形式的冪級数
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Formal power series
(抜粋)
Contents
1 Introduction
2 The ring of formal power series
省32

60(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)20:55 ID:zp6RcyFj(5/6) AAS
>>46
> 11 ゲーム

決定性公理が、”ゲーム”を使った定義になっていることに、長年不思議に思っていた
今回、下記コンウェイとか、超現実数のゲームとの関連を知って、なにか数学基礎論とゲームに繋がりがあることが、うっすらと理解できた気がするな（＾＾；

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
決定性公理
(抜粋)
決定性公理（けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）とは、1962年にミシェルスキー（英語版）、ユゴー・スタインハウス（英語版）によって提出された集合論の公理である。もとの決定性公理はゲーム理論に言及し、可算無限の長さをもったある特定の二人完全情報ゲームについて（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する。

決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。
省10

61: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/31(火)20:56 ID:zp6RcyFj(6/6) AAS
>>60
つづき

歴史的なことを言えば、コンウェイは本項とは逆順に超現実数の理論を発展させたのであった。コンウェイは、囲碁の寄せを分析し、相互干渉しない小遊技の分析を繋ぎ合わせてそれらの選言和の分析とする何らかの方法があれば有用であるという実感を得ていた。
そうしたことからコンウェイはゲームの概念とそれらに対する加法演算を発明した。そこからさらに符号反転および大小比較の定義へと開発は動いて行き、ゲームからなるある種のクラスが興味深い性質を持つことをコンウェイは指摘している。
それが超現実数全体の成すクラスである。最終的に乗法演算を開発するに至って、超現実数の全体が実際にひとつの体を成すことおよびそれが実数の全体と順序数の全体をともに含む体系となることが証明された。

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ゲーム理論
(抜粋)
ゲーム理論（ゲームりろん、英: game theory）とは、社会や自然界における複数主体が関わる意思決定の問題や行動の相互依存的状況を数学的なモデルを用いて研究する学問である[2][3][† 1]。数学者ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンの共著書『ゲームの理論と経済行動』(1944年) によって誕生した[† 2] [† 3]。

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省6

62(2): 2020/04/01(水)04:24 ID:+nGXqagc(1/4) AAS
>>60
長年って具体的に何年？。
コピペ作業始めてから？。

63(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)07:26 ID:RqQA8SNl(1/9) AAS
>>62
良い質問ですね
ガロアスレ 1 2chｽﾚ:math 初代スレ
1 名前：名無しさん[] 投稿日：2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu [1/10]

ガロアスレ 83 2chｽﾚ:math 実質最後
因みに、ガロアスレ84の記録下記の通り
Inter-universal geometry と ABC 予想 45
2chｽﾚ:math
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/03/28(土) 16:55:44.34 ID:MRwZqC/h [5/9]
>>496
省23

64: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)07:27 ID:RqQA8SNl(2/9) AAS
>>63 訂正

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84 キャッシュ（スレ No.35 まであった）
　↓
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84 キャッシュ（レス No.35 まであった）

分かると思うが（＾＾；

65: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)11:37 ID:hrrhEvXG(1/3) AAS
>>62
>コピペ作業始めてから？。

ついでにいうと
数学では、”名無し”さんの発言は、自分に力が無いと、あんまり意味がないと思う
ヒントにはなるけどね

１．５ｃｈは、学会ではない
２．５ｃｈは、大学のゼミでもない
３．５ｃｈは、原則匿名の”名無し”で、相手のレベルが分からない
　（だれかが書いていたが、大人だと思って相手をしていたら、小学生だったという事例があったとか）
４．そんなところで、根拠レスの議論をしても、無意味でしょ？
省3

66(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)16:35 ID:hrrhEvXG(2/3) AAS
転載
現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:fujicategory.hatenadiary.org
数学基礎論の勉強ノート id:fujicategory 2011-07-21
レーヴェンハイム・スコーレムの定理！！
(抜粋)
第５章
まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より）
定理５.１.７（上方(Upward)Lowenheim-Skolem 定理）
省26

67: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)16:37 ID:hrrhEvXG(3/3) AAS
>>66

追加

これ、図解がすばらしいと思う

一例
画像ﾘﾝｸ[png]:www.cs-study.com

画像ﾘﾝｸ[png]:www.cs-study.com
省3

68(2): 2020/04/01(水)21:39 ID:+nGXqagc(2/4) AAS
長年っていうのは小学生の頃から疑問だったとかそういうのをいうんだよ。
工学化学で修士号も取れないのが純粋数学にクビ突っ込んだ気になって歯が全然立たないケースを言うのではない。

69(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)22:06 ID:RqQA8SNl(3/9) AAS
>>68
>工学化学で修士号も取れないのが純粋数学にクビ突っ込んだ気になって歯が全然立たないケースを言うのではない。

おまえ、数学ど素人だなｗｗ（＾＾

１）純粋数学と応用数学の厳密な区分はないよ！！ｗｗ（＾＾
　上げればきりがないが、昔々群論は純粋数学だったかもしれないが、いまどきは工学でも常識
　逆に、数学近接分野から純粋数学に取入れられ、フィールズ賞になったもの多数ある（例下記大栗博司のブログ）
　（下記以外でも、古典的な例だが、ディラックのδ関数が発展して、シュワルツの超関数論になった。もっと遡れば、ニュートンやオイラー、ガウスの時代は、数学と物理の垣根は低かったよ）
２）同じ1つの数学分野でも、数学屋と工学屋では見方が違う。数学屋は論文ネタとして見る。工学屋は、自分の目の前の問題に使えるかどうかを見る
　多分、物理屋や化学屋も同様で、工学屋に近いと思う。数学の論文が書けるかには、興味はない
３）なお、物理屋は、最新に数学に貪欲だと言われる
省10

70: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)22:07 ID:RqQA8SNl(4/9) AAS
>>69
つづき

今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。
場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。
(引用終り)
以上

71(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)22:10 ID:RqQA8SNl(5/9) AAS
>>69 タイポ訂正

３）なお、物理屋は、最新に数学に貪欲だと言われる
　↓
３）なお、物理屋は、最新の数学に貪欲だと言われる

ついでに、追加
佐藤幹夫先生が研究されたソリトンの代数解析は
（可積分系の数学に発展した）
物理と数学の境界の問題だったよね

72: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/01(水)22:15 ID:RqQA8SNl(6/9) AAS
>>71 追加

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
佐藤幹夫 (数学者)
(抜粋)
ソリトンなど可積分系の研究、特に、ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論と見なすことができる。
講義録
佐藤幹夫述、野海正俊記「ソリトン方程式と普遍グラスマン多様体」上智大学数学講究録 No. 18（1984年）、上智大学数学教室

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
佐藤理論（さとうりろん）は、佐藤幹夫によるソリトン方程式と解に関する理論である[1]。(京都大学数理解析研究所講究録388 1980[2],; 414, 1981[3])
KP方程式 (en)をはじめとする完全可積分方程式のソリトン解の τ関数は普遍Grassmann多様体上の点で、双線形方程式はPlucker関係式である。
省6

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