現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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755: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:15:54.73 ID:nHmzRvjt

>>718
>正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
>みなさんに、教えて頂きました
>ありがとう（＾＾

変換σ-1・Ｈ・σは、共役変換というんだけど（＾＾
下記の共役類wikipediaに詳しい
（（編集されて変わることがあるので）スナップショットとして抜粋コピペするけど文字化けご容赦。原文リンク見た方が良いだろう）
元で書くと、σ-1・ｈ・σだけど、積演算（・）が可換（アーベル）だと、
σ-1・ｈ・σ＝σ-1・σ・ｈ＝ｈなので
高校数学の範囲では可換ばかりだから、”何が、そんなにうれしいのか！？”となるのよｗ（＾＾
大学数学で非可換を勉強すると分かる。群論を、これからやる人、いまやっている人は、”共役”を理解しておくといい

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E
共役類
(抜粋)
とくに群論において、任意の群は共役類（きょうやくるい、英: conjugacy class）に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする[1][2][要ページ番号]。

定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役 (きょうやく、conjugate) であるとは、G の元 g が存在して

b = g^-1ag
を満たすことである[注釈 1]。ここで元 g^-1ag を ag のように表すこともある[3]。

共役性は同値関係であり、したがって G を同値類に分割する[注釈 2]ことが直ちに示せる。G の元 a を含む同値類

aG = { ag | g ∈ G }
は a の共役類 (conjugacy class) と呼ばれる[4]。群 G の共役類が C1, …, Ch であるとき数 k(G) := h を類数[訳語疑問点] (class number) と呼ぶ[4]。

一般に、対称群 Sn の共役類の数は n の分割の数に等しい。これは各共役類が、 {1, 2, ..., n} の元の並び替えを除いて、{1, 2, ..., n} のちょうど 1 つの分割を巡回置換（英語版）の集まりと見做したものに対応するからである。

立方体の（自明でない）回転（英語版）は、（面ではなく立体としての）対角線に関する置換として特徴づけることができるが、これも共役変換として記述することができる。

ユークリッドの運動群はユークリッド空間における対称性の共軛変換（英語版）によって調べられる。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/755

758: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:17:21.83 ID:nHmzRvjt

>>757
つづき

応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと

「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。

証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + ?i pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。

共役集合と共役部分群
群 G の部分集合 S （S は部分群である必要はない）と g ∈ G に対して

Sg = g^-1Sg = { g^-1sg | s ∈ S }
を S の g による共役集合という[10]。SG を部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。 次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数に等しい[4]：

|SG| = [G : NG(S)].
これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh^-1 が NG(S) の元であること??つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと??の同値性から従う。

この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）。

上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合は共役部分群へ分割できる。共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない。
一方でシロー部分群は互いに共役である（シローの定理）。また、部分群 H がそのすべての共役部分群と一致することは部分群は正規部分群であることに他ならない。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/758

761: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 13:25:04.58 ID:nHmzRvjt

メモ

https://www.nikkei.com/article/DGXMZO40853860U9A200C1X20000/
プリファード・ネットワークス 深層学習の応用容易に
日経優秀製品・サービス賞
2019/2/4 13:30

リサーチャー 得居誠也氏

「なんか使いにくいよね」。深層学習のフレームワーク「Chainer（チェイナー）」を開発したきっかけは、会社で同僚と交わした何気ない雑談だった。2015年、当時27歳だった。

フレームワークは、深層学習のプログラムを書くのに利用する。チェイナーを開発するまで一般的だったものは、自然言語処理では使いにくかった。同僚との雑談で浮かんだヒントを基に、休みを活用して開発に着手。幸いにもバグなど落とし穴がなく、基礎となる部分のコードを書き上げるまでは10日ほど。

チェイナーの名前は、プログラムを書くとデータが鎖状につながるため、岡野原大輔副社長のアイデアでつけられた。

1カ月後の15年6月に「チェイナー」として発表し、誰でも使えるソフトウエアとして公開した。チェイナーの利用者が増えるとともに、利用者がよりよく改良してくれる流れができればと考えた。グーグルやフェイスブックなど、米国のネット大手より先んじたことで、PFNが持つ技術力などを認知してもらえるきっかけにもなった。

チェイナーはAIのシステム開発でよく使われている「パイソン」というプログラミング言語の力を最大限に活用した。プログラミングが得意な人ばかりではなく、数学や統計学を学んできた人もいる。プログラミングに不慣れでもパイソンさえ理解していれば、深層学習のプログラムを書けるようにすることで、アイデアを落とし込みやすく、研究を早く進められるようにした。

15年の公開以降、日本だけでなく海外も含めて、多くのエンジニアがチェイナーを使ってくれていることに感謝している。先日、インドにいる大学生から質問のメールが送られてきて、遠く離れた国の人も愛用してくれているのが、うれしかった。

今、取り組んでいるのは高速化だ。深層学習の研究で扱うデータの規模が大きくなっているほか、画像処理半導体（GPU）などハードウエアの性能の進化も著しい。どれだけ大規模で高速に学習できるかが問われるようになっている。他のフレームワークの先を行くよう改良に全力をそそいでいる。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/761

766: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 21:30:57.78 ID:2o5RsZjT

吉野彰さん、ノーベル賞おめでとう（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E9%87%8E%E5%BD%B0
吉野彰
(抜粋)
吉野 彰（よしの あきら、1948年（昭和23年）1月30日[1] - ）は、電気化学を専門とする日本のエンジニア、研究者。大阪大学博士（工学）、旭化成名誉フェロー。
携帯電話やパソコンなどに用いられるリチウムイオン二次電池の発明者の一人。
エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長、旭化成 イオン二次電池事業推進室・室長、同 吉野研究室・室長、リチウムイオン電池材料評価研究センター・理事長、名城大学大学院理工学研究科・教授などを歴任。2019年にノーベル化学賞受賞[5]。

略歴
1960年 - 吹田市立千里第二小学校卒業
1963年 - 吹田市立第一中学校卒業
1966年 - 大阪府立北野高等学校卒業
1970年 - 京都大学工学部石油化学科卒業
1972年 - 京都大学大学院工学研究科石油化学専攻修士課程修了
1972年 - 旭化成工業株式会社（現旭化成株式会社）入社
1994年 - （株）エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長
1997年 - 旭化成（株）イオン二次電池事業推進室 室長
2003年 - 旭化成フェロー就任
2005年 - 論文博士にて大阪大学で博士（工学）の学位取得
2005年 - 旭化成（株）吉野研究室 室長
2017年 - 名城大学大学院理工学研究科 教授
2019年10月 - ノーベル化学賞受賞が決定

リチウムイオン電池の開発
吉野が次の点に着目したことによりLIB（リチウムイオン・バッテリー）が誕生した

正極にLiCoO2を用いることで、
正極自体がリチウムを含有するため、負極に金属リチウムを用いる必要がないので安全である
4V級の高い電位を持ち、そのため高容量が得られる
負極に炭素材料を用いることで、
炭素材料がリチウムを吸蔵するため、金属リチウムが電池中に存在しないので本質的に安全である
リチウムの吸蔵量が多く高容量が得られる
また、特定の結晶構造を持つ炭素材料を見いだし[10]、実用的な炭素負極を実現した
1986年、LIBのプロトタイプが試験生産され、米国DOT（運輸省、Department of Transportation）の「金属リチウム電池とは異なる」との認定を受け、プリマーケッティングが開始された
1991年、リチウムイオン二次電池 (LIB) は吉野の勤務する旭化成とソニーなどにより実用化された

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/766

768: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 22:24:15.43 ID:2o5RsZjT

>>765
>これ、なんで部分群の列じゃダメなの？

それは、”ガロア対応”って話なんだけど、その前に、もう少し、
共役変換σ-1・Ｈ・σを語ると

・一応、話を有限群論に限って
　HがGの部分群として、σはH以外の元とする
　σ-1・Ｈ・σは、また、群になるのです
・(略証)
　１）単位元の存在、単位元e∈Hに対し、
　　σ-1・e・σ＝σ-1・σ＝e∈σ-1・Ｈ・σ
　２）逆元の存在、元h∈Hに対し、逆元が存在してh^-1∈Hなので
　　(σ-1・h・σ)・(σ-1・h^-1・σ)＝　(σ-1・h)・(σ・σ-1)・(h^-1・σ)＝(σ-1・h)・(h^-1・σ)＝e
　　なので、逆元の存在σ-1・h^-1・σ∈σ-1・Ｈ・σ
　　が示された
・ガロアが、シュバリエへの手紙で、「固有分解」などと書いているが
　正規部分群N では、σ-1・N・σ＝N （これは定義でもある）
　(略証)
　例えば、二つの元 n1,n2∈Nとして
　(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝(σ-1・n1)・(σ・σ-1)・(n2・σ)＝σ-1・(n1・n2)・σ
　ここで、e＝σ・σ-1を真ん中に挟むと
　σ-1・(n1・n2)・σ＝σ-1・(n1・σ・σ-1・n2)・σ＝(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)
　ここで、σ-1・N・σ＝Nだったから、σ-1・n1・σ＝n1'∈N、σ-1・n2・σ＝n2'∈N なる、元n1'、n2'がN中に存在する
　なので、(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝n1'・n2'∈N が、定義「σ-1・N・σ＝N」から導かれるのです
・σ-1・N・σ＝N→左からσを作用させると σ・σ-1・N・σ＝σ・N→”N・σ＝σ・N”が成立します
・これが、共役変換σ-1・Ｈ・σの意味です

（参考）
https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）バード6787さん
(抜粋)
　Ｇの夢より http://galois.motion.ne.jp/index.html

Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。

群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
　　Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
　　Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
　この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/768

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