[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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421(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/09/22(日)07:37 ID:dCfcIyTY(5/20) AA×
>>418

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421: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/22(日) 07:37:05.32 ID:dCfcIyTY >>418 (引用開始) したがって、Z/4Z ＼ 0 は乗法について閉じていない。 このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）。 (引用終り) 位数 4 の有限体 F4について（＾＾ 「要は1の原始3乗根を添加した体がF4である」か 複素数まで考えないといけないんだ（＾＾； http://br-h2gk.hatenabloｇ.com/entry/finite_field_02 数学とその他の日々 有限体F_2,F_4,F_8,F_16の構造決定 2015-12-17 (抜粋) F4について 3つのアプローチがある。 1つ目としては、x^4?x=x(x?1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、 x^2+x+1のF2上の分解体になり、 その根 ω∈F￣2、 要は1の原始3乗根を添加した体がF4である。 したがって、F4={0,1,ω,ω2}となる。 ωの演算についてはQ上のそれとは異なるが、 考え方は一緒で、ほとんど符号を無視するだけなので省略する。 もしくは、商をとる順番を換える典型的な方法によって F2[x]/(x^2+x+1)=~ Z[x]/(2,x^2+x+1)=~ Z[ω]/(2) と捉えてもよい。 ここでいう右端のωは通常のω∈Cの意味である。 このx^2+x+1という既約多項式を見つけるには 他に2つの考え方があり、 1つはフェルマーの小定理からF2の元は常にx^2+x=0なので、 x^2+x+1はF2上の根を持たず、既約であるというもの。 もう1つは、標数2の体上の2次拡大だから、アルティン＝シュライヤー拡大で、 x^2?x?aの形で根を添加すればよい、ということだが、 a=0は明らかに駄目だからx^2?x?1=x^2+x+1が求まる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/421
引用開始 したがって は乗法について閉じていない このことから代数系 は を法とする剰余類環として可換環を成すのみで零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない位数 の有限体 は存在するにも関わらずである 引用終り 位数 の有限体 について 要はの原始乗根を添加した体がであるか 複素数まで考えないといけないんだ 数学とその他の日 有限体の構造決定 抜粋 について つのアプローチがある つ目としてはの最小分解体だから の上の分解体になり その根 要はの原始乗根を添加した体がである したがってとなる の演算については上のそれとは異なるが 考え方は一緒でほとんど符号を無視するだけなので省略する もしくは商をとる順番を換える典型的な方法によって と捉えてもよい ここでいう右端のは通常のの意味である このという既約多項式を見つけるには 他につの考え方があり つはフェルマーの小定理からの元は常になので は上の根を持たず既約であるというもの もうつは標数の体上の次拡大だからアルティンシュライヤー拡大で の形で根を添加すればよいということだが は明らかに駄目だからが求まる 引用終り 以上

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