現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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335: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 07:40:40.03 ID:MSw7Rbq1

(引用開始)
>”同値類全体の集合は
>Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}”
>Z/nZは、明らかに有限集合ではない
完全な誤りｗ
Z/nZは、明らかに有限集合
(引用終り)

コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだな〜ｗ
論破しますｗ

下記、大学数学の”「同一視する」という考え方”、分かりますか〜ｗ（＾＾；

Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZを忘れたらZに戻るってこと
（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元からZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）
この視点では、Z/nZは無限集合
一方、Z/nZ→{0,1,・・n}を考えると、有限集合

まあ、コウモリが、鳥か獣かという話みたいなもので、視点（数学では定義）によって、見方は変わる
しかし、もし、Z/nZが完全な有限集合なら、どうやっても、無限集合とはすることはできないよね
QED

（参考）
https://restmath.com/archives/216
大学数学 集合.8 「同一視する」という考え方 - レストの数学ブログ 2018/06/15

https://hiroyukikojima.hatenabloｇ.com/entry/20140606/1402035822
hiroyukikojima’s blog
2014-06-06
「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ
(抜粋)
数学は世界をこう見る (PHP新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: PHP研究所
発売日: 2014/05/16
メディア: 新書

この本には、複数のコンセプトが込められているのだけど、その中で非常に大きいのが、「同じと見なす」という数学固有のテクニックをこれでもか、というぐらいに徹底的に解説することだ。
「同じと見なす」ということを、数学の専門の言葉では「同一視」という。この「同じと見なす」という数学の手法は、高校までの数学ではほとんど表れない。
というか、本当は随所でニアミスしているだけれど、高校までの数学教育で強調されることは(情熱のある特殊な先生を除けば)全くない。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/335

338: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 07:52:36.81 ID:MSw7Rbq1

>>337
つづき

２）さて、下記のように考えてみよう
（参考）
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/ 数学基礎論サマースクール 選択公理と連続体仮説
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf
公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P3
公理的集合論の枠組み
・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ
　遺伝的集合の集まりとそれら間の要素関係（∈-関係）
　● 遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合
　　例： Φ，{Φ}，{Φ, {Φ, {Φ}}}
(引用終り)

上記神戸大酒井拓史先生の遺伝的というのが、空集合から初めて、冪集合を順々につくってもの
即ち、下記の二項関係の「先祖である」と同じと解してみよう

Φ∈{Φ}∈{Φ, {Φ}}∈{Φ, {Φ, {Φ}}}なのだが
Φが元で{Φ}を作って、{Φ}が元で{Φ, {Φ}}・・となる
さて、このような二項関係を示す記号を、∈Rと書こう

上記二項関係の”∈R”には、∈と類似のしかし、少しだけ異なる定義を与える
　１）A∈Bのとき、二項関係 A ∈R B が成立っているとする
　２）さらに、A∈B∈Cのとき、二項関係 A ∈R B とB ∈R C のみならず、A ∈R Cも成立っているとする（推移律）
　　くどいが、間にBを挟んだ間接的な場合にも、A ∈R Cも成立っているとする
　３）∈と二項関係の”∈R”との違いについて説明すると、
　　∈は公理的集合論の集合を構成するカナメの記号だが
　　”∈R”は、出来上がった集合の二項関係を示すためだけの機能に限定するものとする（集合を構成する力はない）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
(抜粋)
集合上の関係
集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる：
・推移的 (transitive)
X の各元 x, y, z について、xRy かつ yRz ならば xRz となるとき、関係 R は推移的であるという。
「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/338

350: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 23:15:33.18 ID:MSw7Rbq1

>>335 訂正と追加

＜訂正＞
Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZを忘れたらZに戻るってこと
（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元からZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）
　↓
Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZの同値類の構造を忘れたらZに戻るってこと
（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元2nからZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）

＜補足＞
要するに、上記で言いたいことは、Z/nZの要素の各同値類の集合の要素と、集合Zとの元との対応がきちんとつくってこと
（例：上記の 0 + nZ∋2n→2n∈Z）
だから、全体としても、Z/nZが含んでいる自然数たちは、当然集合Zの元と対応がつくってこと
なお、忘却関手については、下記ご参照

（参考）
https://tnomura9.exblog.jp/21059078/
tnomuraのブログ 2014-08-29
忘却関手のイメージ
群は集合 G と二項演算 * の組 (G, *) だ。したがって、群 G と G' の間の準同型写像 f : G -> G' といっても基本的には集合と集合の間の写像と変わらない。つまり、全射や単射や全単射などの性質はそのまま残っている。

ただし、準同型写像の場合は f によって構造が保存される。つまり、写像 f によって演算が１対１に対応する。具体的には f(xy) = f(x)f(y) という等式がなりたつ。したがって、単射の準同型写像や、全射の準同型写像や、全単射の準同型写像や、全射でも単射でもない準同型写像があるということだ。

しかし、f(xy) = f(x)f(y) を満たさない写像は準同型写像とは言えない事に注意が必要だ。準同型写像全体の集合を考えると、それは集合の写像全体の集合の部分集合になる。（参考：準同型 - Wikipedia）

全ての群の圏 Grp とは群を対象とし、群と群との同型写像を射とする圏のことだ。また、小さな集合の圏 Set は集合を対象とし集合と集合の間の関数を射とする圏である。
群の圏から集合の圏への「忘却関手」U : Grp -> Set とは、Grp の対象である群を Set の対象である集合に対応させ、Grp の射である準同型写像を Set の射である写像に対応させる。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/350

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