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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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973: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 11:21:11.57 ID:HOFZxgY0 >>969 定かではありませんが、 5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大 みたいな事書いてました。 でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。 実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。 まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。 この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。 最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを
持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。 Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。 ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。 以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。 ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反し
ます。 よってQはe,c2,c4,c2×c2です。 以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。 さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。 20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。 この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。 aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。 そうでない場合が残りケース。 実例を調べてみるとこの場合は必ず
アーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。 もっか調べ中。 誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/973
974: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 13:15:49.88 ID:et14HmJl おっちゃんです。 >>971 >( 2)の ) ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった 正則行列による群の表現や群の表現論などの(代数的)表現論の歴史を語ることはかなり難しくなっているが、少なくともここは >( 2）の) ガロアの群の概念が広まって、どんどん代数が抽象化されていった の方がいい。 >3） >もう一つの流れが「解析」で、(熱伝導方程式に関するその方程式を解くことなどのフーリエの研究から生まれたフーリエ級数 >の収束の
問題から生じた)ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た >デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです >で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ ここのデデキントはリーマンの友人でもあった。また、補足して読んだように、多くの解析の分野は物理に基づく問題から生じている。 もしかしたら、複素解析も歴史的にはニュートン力学の運動方程式に基づくといえるかも知れない。 スレ主は解析の歴史を語る
上で物理に一切触れていないため、そこは全くのデタラメだな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/974
975: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 13:36:26.90 ID:et14HmJl >>972 >５） >「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され >後の「代数幾何」の基礎になった >（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ） >「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい クラインはリーと研究をしたことがあって、リーは幾何を大域的に考える方向へ、クラインはより詳細な幾何的構造を考える 方向に考えるようになった。その段階で生まれたリーのリー変換群(
今でいうリー群)や クラインの変換群を用いた幾何の研究のエルランゲン・プログラムも生じた。 そこから生じたリー群(とその表現論)の研究の流れもある。 リー群の表現論は一概に代数、幾何、解析に分類することは出来ない。 リー環の歴史は何といっていいのかよく分からない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/975
976: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 15:53:29.16 ID:X/c9sPkS >>971 追加 ガロアと名の付く数学用語一覧 （これだけで全部じゃないと思うが）（＾＾ なお、ガロアと名はつかないが、ガロアの後、抽象的な群論が活発に研究された なので、古典ガロア理論を学べば、必然群論も体論も、おそらくは環や、その他もろもろの代数系の学習の助けになるだろう（＾＾； https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_field_theory Glossary of field theory (抜粋) Types of fields Finite field A field wit
h finitely many elements. Aka Galois field. Frobenius field A pseudo algebraically closed field whose absolute Galois group has the embedding property.[8] Field extensions Galois extension A normal, separable field extension. Galois theory Galois extension A normal, separable field extension. Galois group The automorphism group of a Galois extension. When it is a finite extension, this is a finite group of order equal to the degree of the extension. Galois groups for infinite extensions are profinite gr
oups. Kummer theory The Galois theory of taking n-th roots, given enough roots of unity. It includes the general theory of quadratic extensions. Normal basis A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively. Extensions of Galois theory Inverse problem of Galois theory Given a group G, find an extension of the rational number or other field with G as Galois group. Differential Galois theory The subject in which symmetry groups of differential equation
s are studied along the lines traditional in Galois theory. This is actually an old idea, and one of the motivations when Sophus Lie founded the theory of Lie groups. It has not, probably, reached definitive form. Grothendieck's Galois theory A very abstract approach from algebraic geometry, introduced to study the analogue of the fundamental group. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/976
977: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 15:54:25.11 ID:X/c9sPkS >>974 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/977
978: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 16:05:27.26 ID:X/c9sPkS >>976 >A field with finitely many elements. Aka Galois field. Aka：「aka」は、「also known as」の略語 あるものに、何か他の呼び方や名前がある時に使うみたいです（＾＾； https://www.eigowithluke.com/aka/ Eigo with Luke 2011.02.16 akaの意味 ネイティブの説明 (抜粋) 今日は「aka」について説明します。この「aka」は、「also known as」の略語になります。 あるものに、何か他の呼び方や名前がある時、「also kn
own as」というフレーズを使ってそれを紹介出来ます。 つまり、「also known as」は「またの名前は」、「通称」などという意味になります。 「also known as」を省略して書く時にはいくつかの書き方があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/978
979: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 16:28:59.71 ID:et14HmJl >>975の訂正： リー変換群(今でいうリー群) → リー変換群芽(今でいうリー群) あと、歴史的に一番最初に生じた多様体はリーマン面。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/979
980: ID:1lEWVa2s [sage] 2019/10/18(金) 16:34:59.40 ID:8pTIg9/G >>975 リー248群はE8の技 Anthony Garrett Lisi - E8 あいつの素粒子の絵みたことある？ すごいよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/980
981: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 16:40:00.47 ID:et14HmJl 複素平面はリーマン面。 >>976 >ガロアと名の付く数学用語一覧 その wiki を見たが、余りないようだな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/981
982: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 16:42:58.99 ID:et14HmJl >>980 その素粒子の絵は見たことがない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/982
983: ID:1lEWVa2s [sage] 2019/10/18(金) 16:46:08.52 ID:8pTIg9/G >>982 自分で調べろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/983
984: ID:1lEWVa2s [sage] 2019/10/18(金) 16:47:34.11 ID:8pTIg9/G >>982 "The Geometry of Particle Physics: Garrett Lisi at TEDxMaui 2013" を YouTube で見る http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/984
985: ID:1lEWVa2s [sage] 2019/10/18(金) 16:51:16.74 ID:8pTIg9/G "宇宙論「4d2Uとは？」" を YouTube で見る http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/985
986: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 17:14:05.82 ID:et14HmJl >>983-984 英会話の説明はチンプンカンプンだったが、 画面にきれいな対称性を持つ円のような図形は出て来た。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/986
987: ID:1lEWVa2s [sage] 2019/10/18(金) 17:24:42.26 ID:KOXE4g88 >>986 それでいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/987
988: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 17:31:17.59 ID:et14HmJl それじゃ、おっちゃんもう寝る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/988
989: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 17:49:53.12 ID:mJ2TyGNr >>973 わたしが理解している話の流れ 位数20の可解群をガロア群として持つ5次方程式の例として Mara Papiyas氏がx^5-a=0を出した。 しかしスレ主は前々から「基礎体には1のべき根はすべて含まれている」という条件に拘っていて、ガロア群はC_5だろうとこの例を認めなかった。 わたしは、x^3-2=0というQ上S_3をガロア群として持つ有名な例と比較して、氏の例は立派な例になっていることを説明した。 そんな感じですかね。 貴方は途中からよく分からない理由で参入して
きた、何をしようとしているのかも不明という印象です。失礼ながら。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/989
990: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 18:09:03.59 ID:mJ2TyGNr >>973 まず文章が非常に読みにくいです。 反礼→反例、規約→既約 などの誤字が目立ちます。 既約というのは、ご存じでしょうが、これ以上約すことができないという意味だから、既約なんですよ。 規約だと違和感を感じませんか？ Qを有理数体の意味に使ったり、Quotientなる群？の意味に使ったりまぎらわしいです。それはまだしも。 前半の可解な既約5次方程式のガロア群になりうる群位数が制限されるというのは一般的な話ですね。ですが >さらに絞っていくと位
数は5か20しかない事も言えます。 スレに出ていた話では5,10,20のケースがあるそうです。 >20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。 これが何を言ってるのか分からないです。 >この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。 これも意味不明。N[L/K]とはノルム写像ですか？ でも、a∈Kであればノルムを取る意味ありますか？ わたしの理解するところ。位数20の話としましょう。 仮にこのガロア群を持つ方程式がx^5-a=0 の形だとすると、1の原始5乗根ζを添加した後に5次クンマー拡大で分解体
に到達することになります。 つまり「位数20のガロア群を持つQ上の5次方程式を解くとき最初の4次拡大は必ずQ(ζ)/Qと一致する」 ことになります。 それはおかしいと思う（ただし直感で詳しく検討してはいないが）、最初からそんな問題意識は持たないです。 そもそも3次の場合は2項方程式に帰着しませんが、それと可解5次の場合の違いが説明できますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/990
991: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 18:17:33.15 ID:ospgeXvi >>989 いや、ま、私が話の流れから考え出した問題がなんの関係もないどうでもいい問題と思われるなら別に構いませんよ。 私は単にQ上既約５次多項式でその分解体のガロア群が可解の場合なのはどんなものがあるのか、x^5-aの形の多項式の分解体になってないものがどのくらいあるのか興味を持っただけですから。 Q(exp2πi/5))上とQ上では話が違うので前者の上で言えたからと言って後者の上で言えるとは限らないのはおっしゃる通り。 なので確かめてみようと思ったまで
です。 別に私も誰も興味ないなら判明しても詳しくかくつもりもありません。 ただ私がQ(exp2πi/5))で言えたからQ上でも言えるはずなどという根拠薄弱な事を言ってると思われたようなのでそんな事はなくキチンと数学的に精査して書いてる事を示しただけです。 まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。 お騒がせでした。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/991
992: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 18:52:33.90 ID:mJ2TyGNr >>991 Q(exp2πi/5))上ならなおさらおかしくないですか？ Q(exp2πi/5))上、方程式x^5-a=0 の分解体は5次クンマー拡大でガロア群は 必然的にC_5なので、ガロア群位数20はそもそも生じないことになります。 基礎体を大きくしてもいいなら、わたしも反例の存在を大まかに説明できるかもしれません。 具体例ではなく、概念的な反例になりますが。 具体例であれば、スレ中に可解な5次方程式についての論文のリンクが貼ってあったので、それが参考になるでしょう。 >ま
ぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。 >お騒がせでした。 別にうざくはないですよ。もともとクソみたいなスレなので 落書き帳として使ってもスレ主は本望だと思いますよ（＾＾ 仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事なので、気にされることもないです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/992
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