現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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350: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 23:15:33.18 ID:MSw7Rbq1

>>335 訂正と追加

＜訂正＞
Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZを忘れたらZに戻るってこと
（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元からZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）
　↓
Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZの同値類の構造を忘れたらZに戻るってこと
（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元2nからZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）

＜補足＞
要するに、上記で言いたいことは、Z/nZの要素の各同値類の集合の要素と、集合Zとの元との対応がきちんとつくってこと
（例：上記の 0 + nZ∋2n→2n∈Z）
だから、全体としても、Z/nZが含んでいる自然数たちは、当然集合Zの元と対応がつくってこと
なお、忘却関手については、下記ご参照

（参考）
https://tnomura9.exblog.jp/21059078/
tnomuraのブログ 2014-08-29
忘却関手のイメージ
群は集合 G と二項演算 * の組 (G, *) だ。したがって、群 G と G' の間の準同型写像 f : G -> G' といっても基本的には集合と集合の間の写像と変わらない。つまり、全射や単射や全単射などの性質はそのまま残っている。

ただし、準同型写像の場合は f によって構造が保存される。つまり、写像 f によって演算が１対１に対応する。具体的には f(xy) = f(x)f(y) という等式がなりたつ。したがって、単射の準同型写像や、全射の準同型写像や、全単射の準同型写像や、全射でも単射でもない準同型写像があるということだ。

しかし、f(xy) = f(x)f(y) を満たさない写像は準同型写像とは言えない事に注意が必要だ。準同型写像全体の集合を考えると、それは集合の写像全体の集合の部分集合になる。（参考：準同型 - Wikipedia）

全ての群の圏 Grp とは群を対象とし、群と群との同型写像を射とする圏のことだ。また、小さな集合の圏 Set は集合を対象とし集合と集合の間の関数を射とする圏である。
群の圏から集合の圏への「忘却関手」U : Grp -> Set とは、Grp の対象である群を Set の対象である集合に対応させ、Grp の射である準同型写像を Set の射である写像に対応させる。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/350

351: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 23:17:09.47 ID:MSw7Rbq1

>>350
つづき

忘却関手をイメージすると、Grp の対象である群の台集合をそのまま Set の対象とし、Grp の射である準同型写像をそのまま Set の射に写す。集合の圏では演算は定義されていないので f(xy) = f(x)f(y) という等式は意味がなくなってしまう。
つまり、忘却関手とは群の圏から演算を取り去ってしまって、そのまま集合の圏の部分圏に写しだしたものと考えると良い。忘却関手の像の射の集合は集合の圏の射の集合の部分集合になっている。

したがって、忘却関手のイメージとは、群の圏を、集合の圏の部分圏へ写す関手と考える事ができる。

一方自由群は集合から作る事ができる。集合の圏の対象である文字集合をその上の自由群に対応させ、文字集合間の写像を対応する自由群間の準同型写像に対応させる関手（自由関手）を考えると、これは忘却関手とは反対方向の Set -> Grp の関手になる。
自由関手は忘却関手の左随伴である。したがって、自由関手と忘却関手の関係が分かれば、随伴の実例のひとつを理解できることになる。

http://m-hiyama.hatenabloｇ.com/entry/20101021/1287620286
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-10-21
さまざまな忘却関手
(抜粋)
バエズがどこかで言ってました、「『忘却』のちゃんとした定義は難しい」と。関手の充満性／忠実性を使うとか、自由と忘却の随伴（自由 -| 忘却）に根拠を求めるとかありますが、それで全てかどうかよく分かりません。

いくつかの例を考えてみます。

Grpを群の圏として、群Gの台集合をU(G)として、UをGrp→Setの関手まで拡張します。これは典型的な忘却関手です。

Catを小さい圏の圏として、圏C（Catの対象）に対して U(C) = |C| = (Cの対象の集合) とすると、Uは自然にCat→Setの関手とみなせます。この場合、圏の代数構造を忘れるだけではなくて、射の集合をゴッソリ忘れています。台集合の一部が欠損します。

Vectを係数体も自由に選んだベクトル空間全体からなる圏だとします。このVectはグロタンディーク構成で作れます。Vectの対象であるベクトル空間Vから係数体を取り出す操作をU(V)とします。U:Vect→Field という関手を作れますが、これもベクトル空間の本体を忘れて係数体だけを残す“忘却関手”と言えなくもないでしょう。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/351

362: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/20(金) 07:12:34.61 ID:ihE7M+Qz

>>350 補足
>Z/nZ→Z：圏論の忘却函手みたいなのを考えて、Z/nZの同値類の構造を忘れたらZに戻るってこと
>（Z/nZの要素の例えば、0 + nZ＝{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}の元2nからZ中の例えば2nに対応を付ければ良い）

一夜漬けで、圏論風に考えてみたのが下記
Z-加群の圏というのがあるんだ（＾＾；
で、Z-加群の圏で、mod n を考えて、かつ、集合Zを下記>>329 花木章秀 信州大にならって
Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}と類別し、これをZ-加群の圏の部分圏と考える

Z-加群の圏　函手→ Z/nZ （mod nと類別）
Z/nZ　函手→ Z-加群の圏 （mod nと類別を忘れる忘却函手）

かな（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
(抜粋)
例
圏と記号　　 　　　　対象の類　　 　　　　　　　射の類　　 　　　　合成　　 　　　大きさ　　　備考
アーベル群の圏　Ab 全てのアーベル群　全ての群準同型　写像の合成　大きい　群の圏の充満部分圏、Z-加群の圏と同じもの

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
(抜粋)
例
Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、0x = 0 および (-n)x = -(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/362

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