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面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net
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>>481 > O(0,0),A_k(1,2k)とする > arctan[∠A_k O A_(k-1)]=arctan[2k]-arctan[2k-2]=arctan[{2k-(2k-2)}/{1+2k(2k-2)}]=arctan[2/(2k-1)^2] > 従って、Σarctan[2/(2k-1)^2],{k=1 to n} = arctan[∠A_n O A_0] = arctan(2n) → π/2 (n→∞) > > P_k(k+1,k)とする > arctan[∠P_k O P_(k-1)]=arctan[k/(k+1)]-arctan[(k-1)/k] > =arctan[{k/(k+1)-(k-1)/k}/{1+(k-1)/(k+1)}]=arctan[2/(2k)^2] > 従って、Σarctan[2/(2k)^2],{k=1 to n} = arctan[∠P_n O P_0] = arctan(n/(n+1)) → π/4 (n→∞) > > Σarctan[2/n^2],{n=1 to ∞} = Σ(arctan[2/(2k-1)^2]+arctan[2/(2k)^2]),{k=1 to ∞} = 3π/4
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