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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>6
> さて、前スレが終わってしまったが
> 前スレからの続きに戻る
> >>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/890
> 
> 逆元-逆行列を調べると
> ”体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）”
> とあります
> 
> また、環の零因子 ja.wikipediaによれば、
> ”環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。”
> です
> なお、体 K に成分を持つ正方行列では、
> ”正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である”
> です
> 
> 実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる  x≠ Ｏ が存在する」とき
> もし、Aが逆行列A^-1 を持てば
> 左辺に A^-1を掛けて、A^-1・AX＝Ｅ・X＝X ここにＥは単位行列
> 右辺は、A^-1・Ｏ＝Ｏ
> つまり、X＝Ｏとなる
> 背理法により、”Aは逆行列A^-1 を持たない”
> つまり、体 K に成分を持つ正方行列で、零因子の条件から、直ちに”Aは逆行列 を持たない”が導かれるのです
> これは、常識として覚えておくのが良いでしょうね
> 
> 逆元を持たない非正則行列
> 　↓↑
> 零因子の行列
> という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ
> 
> （参考）
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
> 逆元
> 厳密な定義
> 単位的マグマの場合
> このとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、
> 両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。
> 
> つづく

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