ｾﾝﾀｰ試験: 数学IIBのﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑについて語るｽﾚ part3 (159ﾚｽ)
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98: 2015/01/19(月)18:43 ID:IyMzAKva(1/3)調 AAS
2015年度 旧課程 数学IIB 第6問
(1)
自然数 M, N は M > N であり、最大公約数が 1 であるとする。
このとき、分数 M / N に対して、次の (i) 〜 (iii) の手順を考える。
(i) M を N で割ったときの商を Q 余りを R とする。
(ii) R > 0 ならば M に N の値を代入し、次に N に R の値を代入して (i) に戻る。
(iii) R = 0 ならば終了する。
この手順は、繰り返しのたびに R が小さくなり、
何回かの後に必ず R = 0 となって終了する。
そこで、 R = 0 となるまでに (i) が実行された回数を K として、
(i) に現れる (M, N, Q, R) を実行順に、
(M1, N1, Q1, R1),
(M2, N2, Q2, R2),
...,
(Mk, Nk, Qk, Rk)
と表す。このようにして得られる商の列 Q1, Q2, ..., Qk について考えてみよう。
たとえば、分数 10 / 7 の場合には (i) 〜 (iii) の手順により、
商の列 1, 2, 3 が得られる。
M1 = 10, N1 = 7, Q1 = 1, R1 = 3 [ ア ]
M2 = 7, N2 = 3, Q2 = 2, R2 = 1
M3 = 3, N3 = 1, Q3 = 3, R3 = 0 [ イ ]
99: 2015/01/19(月)18:44 ID:IyMzAKva(2/3)調 AAS
また、商の列 1, 2, 3 を用いて、 10 / 7 は次のように表すことができる。
10 / 7 = M1 / N1
= Q1 + (N2 / M2)
= Q1 + (1 / (Q2 + (N3 / M3)))
= Q1 + (1 / (Q2 + (1 / Q3)))
= 1 + (1 / (2 + (1 / 3)))
この手順にしたがって、自然数 M, N を入力して、
分数 M / N に対応する商の列 Q1, Q2, ..., Qk を求めるための
[ プログラム 1 ] を作成した。
ただし、 INT(X) は X を超えない最大の整数を表す関数である。
[ プログラム 1 ]
100 INPUT M
110 INPUT N
120 LET Q = INT(M/N)
130 PRINT Q
140 LET R = M - Q * N [ ウ ]
150 LET M = N
160 LET N = R [ エ ]
170 IF R > 0 THEN GOTO 120
180 END
[ プログラム 1 ] を実行して変数 M に 47 、変数 N に 10 を入力し、
分数 47 / 10 に対応する商の列を求めた。
130 行で出力される変数 Q の値は順に 4, 1, 2 [ オ ], 3 [ カ ] であり、
150 行が 3 回実行された直後の変数 M の値は 3 [ キ ] である。
100: 2015/01/19(月)18:45 ID:IyMzAKva(3/3)調 AAS
(2)
K 個の商の列 Qk, Q[k-1], ..., Q1 を順に入力し、
最後に終了を表す 0 を入力して、対応する分数を求めるための
[ プログラム 2 ] を作成した。
たとえば、 [ プログラム 2 ] を実行して、変数 Q に 3 [カ], 2 [オ], 1, 4, 0
と順に入力すれば、 180 行で分数 47 / 10 が出力される。
[ プログラム 2 ]
100 LET M = 1
110 LET N = 0
120 INPUT Q
130 IF Q = 0 THEN GOTO 180
140 LET R = N [ ク ]
150 LET N = M
160 LET M = Q * N + R [ ケ ]
170 GOTO 120
180 PRINT M ; "/" ; N
190 END
[ プログラム 2 ] を実行して、変数 Q に 2, 3, 1, 5, 0 と順に入力すれば、
180 行で出力される分数は 52 [ コサ ] / 9 [ シ ] である。
このとき、 150 行が 3 回実行された直後の変数 N の値は 7 [ ス ] である。
0) M5 = 1, N5 = 0, Q5 = 2, R5 = 0
1) M4 = 2, N4 = 1, Q4 = 3, R4 = 1
2) M3 = 7, N3 = 2, Q3 = 1, R3 = 2
3) M2 = 9, N2 = 7, Q2 = 5, R2 = 7
4) M1 = 52, N1 = 9, Q1 = 0, R1 = 9
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