Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 75

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 75 (206ﾚｽ)
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111(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 09/15(月)09:02 ID:iK+sB2GV(1/12)調 AAS
>>109
ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
赤ペン先生しておくよ

>なんでもかんでもAIに聞くほど無知じゃないよ

”なんでもかんでも”が、数学の記号∀ならそうだろうが
まあそう謙遜するな君の”無知”は、相当だぞｗ　；ｐ）

>さて、なぜソロヴェイモデルを持ち出したのか知らんが
>Pour-elとKripkeの定理の反例にはならん

なっているよ
　>>107 より再録
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
(google訳)
ヴィタリ集合
選択公理の役割
上に示したヴィタリ集合の構成には選択公理が用いられている。ここで疑問が生じる。ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明するために選択公理は必要なのだろうか？答えは「はい」である。ただし、到達不可能基数は集合論における最も一般的な公理化、いわゆるZFCと整合している必要がある。
1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ可測となるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した。これはソロヴェイモデルとして知られている。[ 3 ]ソロヴェイは証明において、到達不可能基数の存在はツェルメロ＝フランケル集合論の他の公理と整合的であり、すなわち矛盾を生じないと仮定した。この仮定は集合論者の間では広く正しいと信じているが、ZFCだけでは証明できない。[ 4 ]
1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果は到達不可能基数に関する彼の仮定なしには証明できないことを証明した。[ 4 ]
参考文献
4 ワゴン、スタン。トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。296〜ページ
(引用終り)

ここで、英原文は下記
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3]
In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]
(引用終り)

つづく

112: 09/15(月)09:02 ID:iK+sB2GV(2/12)調 AAS
つづき

再度強調すると
”In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3]
In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]”

１）1964 Solovay without the axiom of choice, all sets of real numbers are Lebesgue measurable.
２）Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals
３）but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
４）1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.■
以上

114(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 09/15(月)09:41 ID:iK+sB2GV(3/12)調 AAS
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前スレ
2chｽﾚ:math
圏論と集合論　渕野昌
https://fuchino.ddo.jp/misc/category-vers-sets-2020-x.pdf
上記の文章で述べていること
ZFCにグロタンディーク宇宙の存在もしくはそれと同値だが
到達不能基数の存在の公理を追加すれば
小さい圏のみならず大きい圏についても
拡大された集合論の枠内で議論できる
しかし、このことは数学の基礎づけが集合論ではなく
圏論でできるということではない
むしろ圏論もまた集合論で基礎付けできたと考えられる

渕野昌は冒頭でわざわざこう書いている（要約）

日本では数学を学ぶ際の基礎知識としての「数学の基礎」(basis of mathematics)と
数学がいかなる基礎の上になりたつかを考える「数学の基礎付け」（foundation of mathematics)が
実にしばしば混同されている
この混同の上で「数学の基礎（付け）は集合論ではなくカテゴリー論である」とか
痛い主張する人がいるが、その主張は単純に間違っているし、そういう主張をする人は
おかしな人である
しかし日本では数理論理学の素養をもたない数学者が少なくないので
こういうおかしな人の間違った主張をなんとなく受け入れてしまっている
(引用終り)

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
しっかり書いておくと
１）渕野昌先生の見方も一理ある。基礎論屋さんからの見方だ
２）一方「数学原論」斎藤　毅 2020 東京大学出版会
　内容紹介
数学は1つである――線形代数と微積分を柱に、集合と位相のことばで書かれた現代数学の基礎の先にはどのような世界が広がるのだろう。代数・幾何・解析が有機的に結合、交差し、数学をつくりあげるようすを圏論的視点から解説する、「21世紀の『数学原論』」
※試し読み用のPDF https://www.utp.or.jp/files/textsample/9784130639040.pdf
※「圏の定義（定義1.2.1）をなじみにくく感じる読者のために」
　https://www.utp.or.jp/files/topics/200717%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8E%9F%E8%AB%96%EF%BC%BF%E8%A3%9C%E8%B6%B3.pdf
『圏の定義（定義1.2.1）をなじみにくく感じる読者のために
圏は数学の枠組みを与えるという意味では数学の中で特別な位置にあるが，1 つ1つの圏は数学の1つの対象であり特別なものではない．
本文で後述するとおり，グロタンディークの宇宙を考えれば集合論の枠組みからはみ出さずに，数学の様々な対象全体のなす圏を扱うことができる．
圏の定義の1つの解釈は本文にあるとおりだが，数学の対象の定義には，その抽象性によって適用範囲の広さを確保する面もあるので，1つの解釈にとらわれないことも必要である．』
※本書について斎藤先生が「UP」にエッセイをご執筆されています
　https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8E%9F%E8%AB%96.pdf

要するに複眼思考だな。近視眼的になるな。ズームアップとロングと両方つかえってこと

119(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 09/15(月)10:55 ID:iK+sB2GV(4/12)調 AAS
>>113
ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
しっかり書いておくよ

１）>>75 より
　「フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
　グロタンディーク宇宙と到達不可能基数池上大祐」（下記数学セミナー　2025年3月号）
　結論は、分らないだった

２）>>86 よりへんなおじさんｗ
　”Pour-elとKripkeの定理
「算術を含むどんな理論も、それら理論の文と文を対応させる原始再帰函数を通じて同型になっている」
この定理に基づけば、ZFCだろうがZFCGだろうが、そこでの証明を自然数論の証明に書き換えられる”
　”Pour-elとKripkeの定理によれば「できる」
Deduction-preserving “recursive isomorphisms” between theories
Marian Boykan Pour-El and Saul Kripke
https://www.ams.org/journals/bull/1967-73-01/S0002-9904-1967-11689-6/home.html”

３）>>111より Vitali setに関連するソロヴェイモデル
　”1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ可測となるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した”
　”In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. ”
　”In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]”
　つまりは、ソロヴェイモデルフルパワー選択公理なし＆ assumed that the existence of inaccessible cardinals
　で「実数のすべての集合がルベーグ可測となる」が言える
　1980 ”Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals”
　到達不可能基数の存在とグロタンディーク宇宙の仮定とは同値
　だからグロタンディーク宇宙を使わないと証明できない命題の存在が言えた！

だから、２）の”Pour-elとKripkeの定理によれば「できる」”は偽■　；ｐ）

(参考)>>75
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/9438.html
数学セミナー　2025年3月号
集合論の雑学――無限についてのおはなし
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
　　……池上大祐　60
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
個別研究の時代
n = 3：オイラー
1の原始3乗根 ζ3=(−1±√−3)/2 を付加した整数環 Z[ζ3]を使う
クンマーの理想数
（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）

125(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 09/15(月)16:14 ID:iK+sB2GV(5/12)調 AAS
証明論は、下記の菊池誠先生や
新井パパ PDFが、参考になるだろう

(参考)
https://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/
菊池誠
神戸大学大学院システム情報学研究科教授
https://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/ss2018.html
数学基礎論サマースクール2018
証明論　特に算術の無矛盾性証明
不完全性定理によりペアノ算術 PA の無矛盾性は厳密には有限的に証明できないが，
ゲンツェンは順序数 ε_0 までの超限帰納法を用いて，
カット消去法によって PA の無矛盾性を，ある意味で有限的に証明した．
その後，アッカーマンはヒルベルトの ε 計算を用いた PA の無矛盾性の証明を，
ゲーデルは直観主義算術を介した PA の無矛盾性の証明を与えている．
証明論の古典とでも呼ぶべきこの三つの無矛盾性証明は，
互いに深く関係しながらも全く異なる発想のもとで同じ目的を達成する興味深いもので，
技術的にも現在の証明論や理論計算機科学の基礎となる重要なものでもある．
今回の数学基礎論サマースクールではこの三つの無矛盾性の証明と，
この三つの無矛盾性証明から始まる証明論の発展を紹介する．
2018年9月3日から6日，神戸大学
（入門・予備知識）
菊池誠：チュートリアル，趣旨説明，予備知識 [pdf1, pdf2]
https://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/ss2018files/kikuchi1.pdf
数学基礎論サマースクール2018
証明論，特に算術の無矛盾性証明１．
導入・三つの体系
2018年9月3日神戸大学菊池誠
https://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/ss2018files/kikuchi2.pdf
数学基礎論サマースクール2018
証明論，特に算術の無矛盾性証明２．
ペアノ算術・!0・ゲンツェン
2018年9月3日神戸大学菊池誠

（発展）
https://www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/ss2018files/50yearsPTsldshw.pdf
新井敏康：ゲンツェンから始まる証明論50年 [pdf]
（新井パパ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E4%BA%95%E6%95%8F%E5%BA%B7
新井敏康（あらいとしやす、1958年 - ）は、日本の数学者・論理学者。東京大学名誉教授、千葉大学名誉教授。専門は数学基礎論[1]。国立情報学研究所教授の新井紀子は妻[2]。
2019年（平成31年）- 2024年（令和6年） - 東京大学大学院数理科学研究科教授。
（新井ママ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E4%BA%95%E7%B4%80%E5%AD%90
新井紀子（あらいのりこ、1962年10月22日[1] – ）は、日本の数学者。専門は数理論理学、教育工学、人工知能など。国立情報学研究所社会共有知研究センター長・教授。
イリノイ大学大学院在学中に数学者の新井敏康と結婚。1990年に帰国し、長女の出産

129: 09/15(月)19:44 ID:iK+sB2GV(6/12)調 AAS
イタリア語のIUT it.wikipedia が、充実している

https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_Teichm%C3%BCller_inter-universale
Teoria di Teichmüller inter-universal
(google訳)

4つの論文の発表
IUTeich I：ホッジ劇場の建設

IUTeich II: ホッジ・アラケロフ理論的評価

IUTeich III: 対数シータ格子の標準的分割

IUTeich IV: 対数体積計算と集合論的基礎

130: 09/15(月)19:48 ID:iK+sB2GV(7/12)調 AAS
>>128
　120氏は、多分箱入り無数目からの
君の友だろう　；ｐ）

131(1): 09/15(月)21:16 ID:iK+sB2GV(8/12)調 AAS
玉川安騎男先生！
9月17日講演のトークでは話さないでもいいが
原稿のPDFには、「ショルツェはストローマン論法を使っていて数学では許されない」
と一言キッチリ入れてください
それで、ショルツェの議論はノックアウトです！！！

https://x.com/math_jin/status/1962727408324456869
math_jin 2025年9月2日
日本数学会　秋季分科会総合講演　9月17日
玉川安騎男(京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去.現在.未来(16:30〜17:30)

https://www.mathsoc.jp/activity/meeting/nagoya25sept/index.html
日本数学会
2025年度秋季総合分科会
https://www.mathsoc.jp/assets/file/activity/meeting/nagoya25sept/prog25sept_ja_20250801.pdf
2025日本数学会秋季総合分科会プログラム
総合講演9月17日　（　水　）豊田講堂ホール
玉川安騎男 (京大数理研) 遠アーベル幾何学の過去・現在・未来···· (16:30〜17:30)

133(1): 09/15(月)21:55 ID:iK+sB2GV(9/12)調 AAS
ストローマン（英: straw man）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
ストローマン（英: straw man）は、議論において、相手の考え・意見を歪めて引用し、その歪められた主張に対してさらに反論するという間違っている論法のこと、あるいはその歪められた架空の主張そのものを指す[1]。ストローマン手法、藁人形論法、案山子論法（かかし論法）ともいう。
概説
相手の意見の一部を誤解してみせたり、正しく引用することなく歪める、または一部のみを取り上げて誇大に解釈すれば、その意見に反論することは容易になる。
この場合、第三者からみれば一見すると反論が妥当であるように思われるため、
人々を説得する際に有効なテクニックとして用いられることがある。
これは論法としては論点のすり替えにあたり、
無意識でおこなっていれば論証上の誤り（非形式的誤謬）となるが、
意図的におこなっていればそれは詭弁である。

134(3): 09/15(月)22:19 ID:iK+sB2GV(10/12)調 AAS
>>132
ありがとうございます
玉川安騎男先生は、こういう一般講演の名手で定評があります
例えば下記などご参照
逆に望月先生は下手くそを辞任している（講義・講演の評価が悪いと語っていた）
なので、名講演が期待されます

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-01.back.html
数学入門公開講座　バックナンバー（講義ノート）
2006年7月31日-8月3日（第28回）
ガロア理論とその発展　玉川安騎男
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらうことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思います。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト
(京都大学数理解析研究所，平成18年7月31日〜8月3日開催)
ガロア理論とその発展　玉川安騎男

https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp04.html
第 49 回代数学シンポジウム
平成 16 年 8 月 3 日
玉川安騎男（京都大学・数理解析研究所）
代数曲線の数論的基本群に関する Grothendieck 予想，その後報告集原稿（ｐｄｆ）
https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp04_files/tamagawa.pdf
代数曲線の数論的基本群に関するGrothendieck 予想，その後
玉川安騎男京都大学数理解析研究所
§1. 第１部の復習今回の講演は,第４１回代数学シンポジウム(１９９６年７月,於山形市遊学館)でさせていただいたサーベイ講演「代数曲線の数論的基本群に関するGrothendieck予想」の続きで,ほんとうは,タイトルを「代数曲線の数論的基本群に関するGrothendieck予想，II」とした方がよいところでした. この節では, 前回の講演内容を簡単に復習したいと思います. 詳しくは[T1]をご参照下さい.

135(1): 09/15(月)22:21 ID:iK+sB2GV(11/12)調 AAS
>>134 誤変換訂正

逆に望月先生は下手くそを辞任している（講義・講演の評価が悪いと語っていた）
　↓
逆に望月先生は下手くそを自認している（講義・講演の評価が悪いと語っていた）

136(1): 09/15(月)22:53 ID:iK+sB2GV(12/12)調 AAS
>>134 追加

下記
"望月さんは,近年の彼のDiophantus 幾何 (abc 予想など) への全く新しい圏論的アプローチなどをへて,
どちらかというと不成立なのではないかと感じているようです."
とありますね

すなわち
玉川安騎男先生は、IUT 2012年の遙か昔平成 16 年＝2004年から
望月先生の Diophantus 幾何 (abc 予想など)
彼の全く新しい圏論的アプローチを見てきたのです

(参考)
https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp04.html
第 49 回代数学シンポジウム
平成 16 年 8 月 3 日
玉川安騎男（京都大学・数理解析研究所）
代数曲線の数論的基本群に関する Grothendieck 予想，その後報告集原稿（ｐｄｆ）
https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp04_files/tamagawa.pdf

P9
4. [k : Qp] < ∞ に対する絶対版.
1.3 で復習した通り, この場合の相対版は望月氏によって非常に強い形で解決されていますが,絶対版は,p進局所体の絶対Galois群の非幾何的自己同型の存在により,成否が不明になっています.
これに関しては,望月氏の最近の研究[M4][M5][M6][M7]があります.
筆者は,比較的安直に絶対版の成立を信じているのですが,
望月さんは,近年の彼のDiophantus 幾何 (abc 予想など) への全く新しい圏論的アプローチなどをへて,
どちらかというと不成立なのではないかと感じているようです.

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