不等式への招待 第11章 (203ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞

---

126(1): 2024/07/20(土)19:27 ID:YPbD6I6z(1)調 AAS
∫[k-1/2,k+1/2]dx/x^3=k/(k^2-1/4)^2

k/((k^2-1/4)^2)-1/k^3=(8k^2-1)/{k^3(4k^2-1)^2}　>0 (if k>1)
を使うと、

Σ[k=1,∞]1/k^3
<Σ[k=1,6]1/k^3 + Σ[k=7,∞]k/((k^2-1/4)^2)
=Σ[k=1,6]1/k^3 + ∫[13/2,∞]dx/x^3
=1+4567/24000+(1/2)*1/(13/2)^2 = 1+4567/24000+2/169
(2/169=0.0118343195266...　等を使うと、)
=1.20212598619... < 1.20222020202020... = 1+20/99+2/10000

1/84=2/168 と 2/169　の違いの分、ちょっとだけ厳しい評価になっている

---

170: 2024/08/20(火)19:38 ID:ZHgAlXCy(2/3)調 AAS
>>126
積分を利用する方法
　∫[k,k+1] 1/(x^n) dx ≦ {1/(k^n) + 1/((k+1)^n)}/2,
　1/k^n ≦ ∫[k-1/2, k+1/2] 1/(x^n) dx,
より
　1/(2･7^n) + ∫[7,∞] 1/(x^n) dx < Σ[k=7,∞] 1/(k^n) < ∫[13/2, ∞] 1/(x^n) dx,
　1/(2･7^n) + 1/[(n-1)･7^{n-1}] < Σ[k=7,∞] 1/(k^n) < 1/[(n-1)・(13/2)^{n-1}],

　　　　　下限　　　　　上限
n=2,　　15/98,　　　　2/13
n=3,　　4/343,　　　　2/169
n=4,　　17/14406,　　 8/6591
n=5,　　9/67228,　　　4/28561
n=6,　　19/1176490,　32/1856465

これにより上限を改良できる。　　>>145 169

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.653s*