[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
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447(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:11 ID:Nk0YN5V9(6/11)調 AAS
>>446
つづき
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref Sendai Logic Homepage 資料ページ
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_05
Sendai Logic Homepage
ヒルベルトの第１０問題 （『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
歴史，背景について．
(抜粋)
■ はじめに
“n 個の未知数を含む整数係数の多項式 P(x1,x2,..., xn) に対し，
方程式 P(x1,x2,...,xn) = 0（ディオファントス方程式または不定方程式と呼ぶ）が整数解を持つか否かを有限的に判定する方法をみつけよ”
というのがヒルベルトの第10問題である．
原文でもそれ以上の説明はなく，23の問題の中で一番短い設問である．
ヒルベルトは全体の前書きで，
「道で初めて出会った人にも明確に説明できる」のが良問であると言っているが，
その意味でこれは最良の問題の１つであろう．
また，前書きなどに語られているヒルベルトの数学観
（数学全体を１つの大きな有機体と見，それに関する真理は必ず有限的な手段で把握できるという信念）
を端的に表す出題でもある．
そして，もう一つ重要な点は，
この問題にはその半世紀後に興る計算機科学の萌芽が感じられることである．
第10問題そのものは，1970年に否定的に解決されたが，
その周辺には現在も未解決で，しかも数論や計算機科学の重要問題と関連する話題がたくさんある．
■ フェルマー・ワイルスの定理と第10問題
フェルマーの予想はようやく最近ワイルスによって正しいことが証明されたが，
しかしこのように解の有無がわかるディオファントス方程式はむしろ例外的である．
一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．
つづく
448: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:11 ID:Nk0YN5V9(7/11)調 AAS
>>447
つづき
■ 第10問題と現在の問題
ディオファントス方程式が実数の範囲で解けるか否かを判定するアルゴリズムは知られている．
どんな体あるいは環でどのようなディオファントス方程式の可解性が判定できるか．．．
問題は果てしなく広がっている．
整数の話を戻ると，マチャセビッチが証明した最良の結果は，
9変数のディオファントス方程式の可解性が判定できないというものである（文献 [3]）．
これを3変数に限ってもやはり判定できないだろうという予想があるが，
もう10年以上進歩が見られずデッドロック状態にある．
2変数についてはベーカーたちが多くの肯定的結果を出しているが，
それでもすべての2変数多項式の可解性が決定したわけではない（文献 [2]）．
最後に，MRDP定理と計算量理論の関係について簡単に触れておこう．
(引用終り)
以上
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