[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
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446(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:10 ID:Nk0YN5V9(5/11)調 AAS
>>444 追加
参考 Hilbert の第 10 問題 解説
http://iso.2022.jp/ iso.2022.jp
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/ 決定不能問題ギャラリー (Hilbertの第10問題)
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/files/hilberts-tenth-problem.pdf
Hilbert の第 10 問題
Hilbert’s Tenth Problem
y.*
2018 年 12 月 20 日
最終更新日: 2018 年 12 月 20 日
概要
多変数の多項式を用いて f(x1, . . . , xn) = 0 の形で書ける代数方程式を Diophantus 方程式と呼ぶ．与
えられた Diophantus 方程式が整数解 (x1, . . . , xn が全て整数であるような解) を持つか否かを判定する決
定問題を Hilbert の第 10 問題という．本稿では MRDP 定理と呼ばれる定理の完全な証明を与え，その系
として Hilbert の第 10 問題の決定不能性を示す．さらに，MRDP 定理以降のいくつかの結果も紹介する．
本稿の大部分は MRDP 定理を証明した Matiyasevich 本人による教科書 [1] によっている．
Keywords: Hilbert の第 10 問題 (Hilbert’s tenth problem), Diophantus 方程式 (Diophantine equation), Diophantus 的集合 (Diophantine set), c.e. 集合 (c.e. set), MRDP 定理 (MRDP theorem).
目次
1 導入
6.2 MRDP 定理の内容
7 Hilbert の第 10 問題は決定不能である
つづく
447(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:11 ID:Nk0YN5V9(6/11)調 AAS
>>446
つづき
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref Sendai Logic Homepage 資料ページ
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_05
Sendai Logic Homepage
ヒルベルトの第１０問題 （『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
歴史，背景について．
(抜粋)
■ はじめに
“n 個の未知数を含む整数係数の多項式 P(x1,x2,..., xn) に対し，
方程式 P(x1,x2,...,xn) = 0（ディオファントス方程式または不定方程式と呼ぶ）が整数解を持つか否かを有限的に判定する方法をみつけよ”
というのがヒルベルトの第10問題である．
原文でもそれ以上の説明はなく，23の問題の中で一番短い設問である．
ヒルベルトは全体の前書きで，
「道で初めて出会った人にも明確に説明できる」のが良問であると言っているが，
その意味でこれは最良の問題の１つであろう．
また，前書きなどに語られているヒルベルトの数学観
（数学全体を１つの大きな有機体と見，それに関する真理は必ず有限的な手段で把握できるという信念）
を端的に表す出題でもある．
そして，もう一つ重要な点は，
この問題にはその半世紀後に興る計算機科学の萌芽が感じられることである．
第10問題そのものは，1970年に否定的に解決されたが，
その周辺には現在も未解決で，しかも数論や計算機科学の重要問題と関連する話題がたくさんある．
■ フェルマー・ワイルスの定理と第10問題
フェルマーの予想はようやく最近ワイルスによって正しいことが証明されたが，
しかしこのように解の有無がわかるディオファントス方程式はむしろ例外的である．
一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．
つづく
449(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:13 ID:Nk0YN5V9(8/11)調 AAS
>>446 追加
検索すると、下記がヒット。旧ガロアスレで、「ヒルベルトの第10問題」を取り上げ立ていたようですね
（参考）
761: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 (679)2ch.vet ? re_ai_math_1499815260_80_100
なお、このインタビュー記事は EMS Newsletter March 2007 (PDF)の中に ... 21世紀の数学は、ユーリ・マニン博士も言っていますが、"量子化"と言う ... マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 (679)2ch.pet ? contents_ai_math_1499815260_all
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾； ... 21世紀の数学は、ユーリ・マニン博士も言っていますが、"量子化"と言うテーマ ... マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。
(引用終り)
「ヒルベルトの第10問題」関連で、素数多項式が有名です
https://enpedia.rxy.jp/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
素数表現多項式
各変数に0以上の整数を代入すると、必ず素数が得られる数式も存在する。n番目の素数を表せるわけではなく、計算量も多いため、実用性は全くない。ロシアの数学者、ユーリ・マチャセビッチによる「マチャセビッチの多項式」が主に知られている。以下はAからZまでの26変数を用いるものであるが、マチャセビッチは19変数のものも考案している。
略
（この数式で表される数が負でないとき、その数は素数である）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
8 素数生成式
8.1 1変数多項式
8.2 多変数多項式
素数生成式
n 番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである[18]。ただし、その式はウィルソンの定理を用いたものであり、一般に大きな計算量であることに注意が必要である。
つづく
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