[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
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444(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:43 ID:Nk0YN5V9(3/11)調 AAS
>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろ
そうか！
おぬし、下記 ディオファントス方程式の ”トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）”と
>>443 ”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”とを
混同したのかな？ どちらも”トゥエ”が冠されているけどな。別ものだろ！？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ディオファントス方程式
特殊例
ディオファントス方程式の特殊例には以下のようなものがある。
楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、3次または4次の多項式）
数論の中心的課題の一つである。とくに有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。有限体上の楕円曲線の構造も考察されており、暗号理論などに応用されている。
トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。この曲線の次数が3ならば楕円曲線と双有理同値になる。次数が4以上ならば、ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。
課題
現在では、すべての方程式について整数範囲での一般解法は存在しないことが証明されている。整数解の存在判定に限定しても、9変数の一般的判定法が存在しないことがすでに証明されている。2変数の一般的判定法も未知である（種数1の場合、および yk = f (x) の形の方程式については原理的には判定可能である）。また、有理数範囲での一般的判定方法が存在するかどうかも未知である。
つづく
445: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:44 ID:Nk0YN5V9(4/11)調 AAS
>>444
つづき
1900年に提示された「ヒルベルトの23の問題」の第10問題が「ディオファントス方程式の一般的で有限的な可解性判定方法をもとめよ」であったが、これは1970年にロシアの数学者ユーリ・マチャセビッチによって否定的に解決された[1]。（→計算可能性理論）この証明の副産物として、再帰的に枚挙可能な任意の整数の集合（たとえば素数の集合）には、その要素を整数解とするディオファントス方程式が、かならず存在することが証明されている。日本の廣瀬健はマチャセビッチと同時期に独立に部分的解決をしていたとされる。
2変数2次方程式a x2 + b y + c = 0 の整数解の存在判定問題はNP完全問題であることが証明されている。（→計算複雑性理論）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヒルベルトの23の問題
3.10 第10問題
第10問題
詳細は「ヒルベルトの第10問題（英語版）」を参照
ディオファントス方程式の可解性の決定問題
1970年、ユーリ・マチャセビッチが否定的に解決。ディオファントス方程式がどのような場合に整数解を持つかを決定付けるような一般的な解法は存在しないことを示した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem
Hilbert's tenth problem
(引用終り)
以上
446(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:10 ID:Nk0YN5V9(5/11)調 AAS
>>444 追加
参考 Hilbert の第 10 問題 解説
http://iso.2022.jp/ iso.2022.jp
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/ 決定不能問題ギャラリー (Hilbertの第10問題)
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/files/hilberts-tenth-problem.pdf
Hilbert の第 10 問題
Hilbert’s Tenth Problem
y.*
2018 年 12 月 20 日
最終更新日: 2018 年 12 月 20 日
概要
多変数の多項式を用いて f(x1, . . . , xn) = 0 の形で書ける代数方程式を Diophantus 方程式と呼ぶ．与
えられた Diophantus 方程式が整数解 (x1, . . . , xn が全て整数であるような解) を持つか否かを判定する決
定問題を Hilbert の第 10 問題という．本稿では MRDP 定理と呼ばれる定理の完全な証明を与え，その系
として Hilbert の第 10 問題の決定不能性を示す．さらに，MRDP 定理以降のいくつかの結果も紹介する．
本稿の大部分は MRDP 定理を証明した Matiyasevich 本人による教科書 [1] によっている．
Keywords: Hilbert の第 10 問題 (Hilbert’s tenth problem), Diophantus 方程式 (Diophantine equation), Diophantus 的集合 (Diophantine set), c.e. 集合 (c.e. set), MRDP 定理 (MRDP theorem).
目次
1 導入
6.2 MRDP 定理の内容
7 Hilbert の第 10 問題は決定不能である
つづく
452(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:28 ID:Nk0YN5V9(11/11)調 AAS
>>444 補足
>”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
Roth(ロス)先生も、フィールズ賞 1958年だった
昔は、牧歌的だったようだね〜（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9
クラウス・フリードリッヒ・ロス
クラウス・フリードリッヒ・ロス（Klaus Friedrich Roth、1925年10月29日 - 2015年11月10日）は、ドイツ出身のイギリスの数学者。ディオファントス近似や不規則偏差理論の研究などで知られる。当時ドイツ領だったブレスラウ（現在はポーランドの都市ヴロツワフ）で生まれ、イギリスで育った。1945年にハロルド・ダヴェンポートの下でケンブリッジ大学のピーターハウス（英語版）を卒業した。
1952年、自然数の有限密度部分集合は無数の長さ3の等差数列を含むことを証明し、今日セメレディの定理（英語版）として知られているものを作り上げた。彼の最終的な結論は、今日Thue?Siegel?Rothの定理として知られているものにまとめられ、1955年にユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンでの講義で発表された。彼は1958年にフィールズ賞を受賞した。1961年に教授となり、1966年に学長としてインペリアル・カレッジ・ロンドンへ移り、1988年まで務めた。
受賞など
1958年 - フィールズ賞
(引用終り)
以上
455(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/14(水)07:36 ID:qOwFO4Cy(2/11)調 AAS
>>444 補足
トゥエさん
https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmeit4.htm
TOSM三重のホーム
人名索引 てと
トゥエ，アクサル(Axel Thue, 1863.2.19-1922.3.7.)
ノルウェー，チョンスベルグに生まれ，オスロに死す。
クリスチャニア大学教授．S.リーの弟子．
整数論．ディオファントス解析．ディオファントス近似におけるトゥエの方法．トゥエ系．1909年の有名な論文で，有理数に近い代数的数が有限個しかないことや，バシェ方程式のような不定方程式には有限個の整数解しかないことを示す．この一般化がトゥエ・ジーゲル(1920)・ロス(1958)の定理．語の同型問題（トゥエの問題）．
ランダウは1922年に，トゥエの定理を
私が知るかぎりもっとも重要な初等整数論の定理
と言っている．
https://en.wikipedia.org/wiki/Axel_Thue
Axel Thue
Axel Thue (Norwegian: ; 19 February 1863 - 7 March 1922), was a Norwegian mathematician, known for his original work in diophantine approximation and combinatorics.
Work
Thue published his first important paper in 1909.[1]
He stated in 1914 the so-called word problem for semigroups or Thue problem, closely related to the halting problem.[2]
His only known PhD student was Thoralf Skolem.
The esoteric programming language Thue is named after him.
つづく
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